Номер 1010, страница 184 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Электроемкости двух конденсаторов: $C_1$ и $C_2$.

Напряжение источника: $U$.

Найти:

Разность потенциалов $U'$ и выделившуюся энергию $W$ при параллельном соединении для трех случаев:

1. Последовательно заряженные, а затем соединенные параллельно.

2. Порознь заряженные, соединенные параллельно одноименными обкладками.

3. Порознь заряженные, соединенные параллельно разноименными обкладками.

Решение:

Рассмотрим первый случай, описанный в задаче.

1. Конденсаторы соединены последовательно и подключены к источнику напряжения $U$.

Общая электроемкость при последовательном соединении:

$C_{посл} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен общему заряду батареи:

$q_1 = q_2 = q = C_{посл} U = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U$

Начальная энергия системы, запасенная в конденсаторах:

$W_i = \frac{1}{2} C_{посл} U^2 = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U^2$

Затем конденсаторы отключают от источника и соединяют параллельно. Будем считать, что соединяют одноименно заряженные обкладки. При этом суммарный заряд на соединенных обкладках сохранится. Общий заряд системы при параллельном соединении будет равен сумме зарядов конденсаторов:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = 2q = \frac{2 C_1 C_2}{C_1 + C_2} U$

Общая электроемкость при параллельном соединении:

$C_{пар} = C_1 + C_2$

Новая разность потенциалов $U'$ на обкладках конденсаторов:

$U' = \frac{Q_{общ}}{C_{пар}} = \frac{2 C_1 C_2 U / (C_1 + C_2)}{C_1 + C_2} = \frac{2 C_1 C_2}{(C_1 + C_2)^2} U$

Конечная энергия системы:

$W_f = \frac{1}{2} C_{пар} (U')^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left(\frac{2 C_1 C_2}{(C_1 + C_2)^2} U\right)^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \frac{4 C_1^2 C_2^2}{(C_1 + C_2)^4} U^2 = \frac{2 C_1^2 C_2^2}{(C_1 + C_2)^3} U^2$

Энергия $W$, которая выделится при пересоединении, равна разности начальной и конечной энергий:

$W = W_i - W_f = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U^2 - \frac{2 C_1^2 C_2^2}{(C_1 + C_2)^3} U^2$

$W = \frac{C_1 C_2 U^2}{2(C_1 + C_2)} \left(1 - \frac{4 C_1 C_2}{(C_1 + C_2)^2}\right) = \frac{C_1 C_2 U^2}{2(C_1 + C_2)} \frac{(C_1 + C_2)^2 - 4 C_1 C_2}{(C_1 + C_2)^2}$

$W = \frac{C_1 C_2 U^2}{2(C_1 + C_2)^3} (C_1^2 + 2C_1C_2 + C_2^2 - 4C_1C_2) = \frac{C_1 C_2 (C_1 - C_2)^2}{2(C_1 + C_2)^3} U^2$

Ответ: Разность потенциалов $U' = \frac{2 C_1 C_2}{(C_1 + C_2)^2} U$, выделившаяся энергия $W = \frac{C_1 C_2 (C_1 - C_2)^2}{2(C_1 + C_2)^3} U^2$.

Теперь решим задачу при условии, что конденсаторы сначала подключали к источнику порознь.

В этом случае каждый конденсатор заряжается до напряжения $U$.

Заряд на первом конденсаторе: $q_1 = C_1 U$.

Заряд на втором конденсаторе: $q_2 = C_2 U$.

Суммарная начальная энергия двух конденсаторов:

$W_i = \frac{1}{2} C_1 U^2 + \frac{1}{2} C_2 U^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) U^2$

а) одноименно заряженными обкладками

При соединении одноименно заряженными обкладками общий заряд системы будет равен сумме зарядов конденсаторов:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = C_1 U + C_2 U = (C_1 + C_2) U$

Общая емкость при параллельном соединении $C_{пар} = C_1 + C_2$.

Новая разность потенциалов $U'$:

$U' = \frac{Q_{общ}}{C_{пар}} = \frac{(C_1 + C_2) U}{C_1 + C_2} = U$

Конечная энергия системы:

$W_f = \frac{1}{2} C_{пар} (U')^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) U^2$

Выделившаяся энергия:

$W = W_i - W_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) U^2 - \frac{1}{2} (C_1 + C_2) U^2 = 0$

Ответ: Разность потенциалов $U' = U$, выделившаяся энергия $W = 0$.

б) разноименно заряженными обкладками

При соединении разноименно заряженными обкладками (положительная обкладка одного к отрицательной другого) общий заряд системы будет равен разности зарядов конденсаторов:

$Q_{общ} = |q_1 - q_2| = |C_1 U - C_2 U| = |C_1 - C_2| U$

Общая емкость при параллельном соединении $C_{пар} = C_1 + C_2$.

Новая разность потенциалов $U'$:

$U' = \frac{Q_{общ}}{C_{пар}} = \frac{|C_1 - C_2|}{C_1 + C_2} U$

Конечная энергия системы:

$W_f = \frac{1}{2} C_{пар} (U')^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left(\frac{|C_1 - C_2|}{C_1 + C_2} U\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{(C_1 - C_2)^2}{C_1 + C_2} U^2$

Выделившаяся энергия:

$W = W_i - W_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) U^2 - \frac{1}{2} \frac{(C_1 - C_2)^2}{C_1 + C_2} U^2$

$W = \frac{U^2}{2(C_1 + C_2)} \left[(C_1 + C_2)^2 - (C_1 - C_2)^2\right]$

Используя формулу разности квадратов, $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$, или раскрыв скобки:

$W = \frac{U^2}{2(C_1 + C_2)} [(C_1^2 + 2C_1C_2 + C_2^2) - (C_1^2 - 2C_1C_2 + C_2^2)] = \frac{U^2}{2(C_1 + C_2)} [4C_1C_2]$

$W = \frac{2 C_1 C_2}{C_1 + C_2} U^2$

Ответ: Разность потенциалов $U' = \frac{|C_1 - C_2|}{C_1 + C_2} U$, выделившаяся энергия $W = \frac{2 C_1 C_2}{C_1 + C_2} U^2$.