Номер 1011, страница 187 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Начальный момент времени, $t_1 = 2,0$ с
Конечный момент времени, $t_2 = 6,0$ с
Начальная сила тока, $I_1 = 2,0$ А
Конечная сила тока, $I_2 = 10$ А

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:
Заряд $q$

Решение:

Сила тока $I$ определяется как производная заряда $q$ по времени $t$: $I = \frac{dq}{dt}$. Соответственно, заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, можно найти, вычислив интеграл от силы тока по времени:

$q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$

По условию задачи, сила тока в цепи возрастала равномерно, то есть зависимость силы тока от времени $I(t)$ является линейной. В этом случае интеграл численно равен площади под графиком функции $I(t)$ на отрезке $[t_1, t_2]$. График линейной функции — прямая линия, а фигура под ним — трапеция.

Основаниями этой трапеции являются значения силы тока в начальный и конечный моменты времени, то есть $I_1$ и $I_2$. Высотой трапеции является промежуток времени $\Delta t = t_2 - t_1$.

Площадь трапеции (а значит, и искомый заряд) вычисляется по формуле:

$q = \frac{I_1 + I_2}{2} \cdot \Delta t$

Эта формула также соответствует нахождению заряда через среднюю силу тока $I_{ср}$ при ее линейном изменении: $q = I_{ср} \cdot \Delta t$, где $I_{ср} = \frac{I_1 + I_2}{2}$.

Рассчитаем промежуток времени:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 6,0 \text{ с} - 2,0 \text{ с} = 4,0 \text{ с}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для заряда:

$q = \frac{2,0 \text{ А} + 10 \text{ А}}{2} \cdot 4,0 \text{ с} = \frac{12 \text{ А}}{2} \cdot 4,0 \text{ с} = 6,0 \text{ А} \cdot 4,0 \text{ с} = 24 \text{ Кл}$

Ответ: заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, равен 24 Кл.