Номер 1007, страница 184 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U_1 = 0,10 \text{ кВ} = 0,10 \times 10^3 \text{ В} = 100 \text{ В}$
$U_2 = 50 \text{ В}$
$C_1 = 2,0 \text{ мкФ} = 2,0 \times 10^{-6} \text{ Ф}$
$C_2 = 0,50 \text{ мкФ} = 0,50 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$Q$

Решение:

Количество теплоты $Q$, выделившееся при соединении проводником обкладок конденсаторов, равно убыли электростатической энергии системы.

$Q = W_{нач} - W_{кон}$

Начальная энергия системы $W_{нач}$ равна сумме энергий двух заряженных конденсаторов. Так как нижние обкладки заземлены, их потенциал можно принять равным нулю. Тогда $U_1$ и $U_2$ – это напряжения на первом и втором конденсаторах соответственно.

$W_{нач} = W_1 + W_2 = \frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 U_2^2}{2}$

После соединения верхних обкладок проводником заряды на них перераспределятся, и потенциалы верхних обкладок станут одинаковыми. Конденсаторы оказываются соединенными параллельно. В изолированной системе верхних обкладок сохраняется полный заряд.

Начальные заряды на верхних обкладках конденсаторов:

$q_1 = C_1 U_1$
$q_2 = C_2 U_2$

Общий начальный заряд:

$q_{общ} = q_1 + q_2 = C_1 U_1 + C_2 U_2$

После соединения общая емкость системы становится $C_{общ} = C_1 + C_2$, а напряжение на конденсаторах становится одинаковым и равным $U_{кон}$. По закону сохранения заряда:

$q_{общ} = C_{общ} U_{кон} = (C_1 + C_2) U_{кон}$

Отсюда находим конечное напряжение:

$U_{кон} = \frac{q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{C_1 U_1 + C_2 U_2}{C_1 + C_2}$

Конечная энергия системы:

$W_{кон} = \frac{C_{общ} U_{кон}^2}{2} = \frac{(C_1 + C_2)}{2} \left( \frac{C_1 U_1 + C_2 U_2}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{(C_1 U_1 + C_2 U_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$

Тогда выделившееся количество теплоты:

$Q = W_{нач} - W_{кон} = \left(\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 U_2^2}{2}\right) - \frac{(C_1 U_1 + C_2 U_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$

После алгебраических преобразований эта формула упрощается до вида:

$Q = \frac{C_1 C_2 (U_1 - U_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$Q = \frac{(2,0 \times 10^{-6} \text{ Ф}) \times (0,50 \times 10^{-6} \text{ Ф}) \times (100 \text{ В} - 50 \text{ В})^2}{2 \times (2,0 \times 10^{-6} \text{ Ф} + 0,50 \times 10^{-6} \text{ Ф})} = \frac{1,0 \times 10^{-12} \text{ Ф}^2 \times (50 \text{ В})^2}{2 \times 2,5 \times 10^{-6} \text{ Ф}}$

$Q = \frac{1,0 \times 10^{-12} \times 2500}{5,0 \times 10^{-6}} \text{ Дж} = \frac{2500 \times 10^{-12}}{5,0 \times 10^{-6}} \text{ Дж} = 500 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 0,5 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

$Q = 0,5 \text{ мДж}$

Ответ: $Q = 0,5 \text{ мДж}$.