Номер 1015, страница 188 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Площадь поперечного сечения медного провода, $S = 25 \text{ мм}^2$.

Сила тока в проводе, $I = 50 \text{ А}$.

Материал провода - медь (Cu).

На каждый атом приходится один электрон проводимости.

Табличные данные:

Плотность меди, $\rho = 8900 \text{ кг/м}^3$.

Молярная масса меди, $M = 63.5 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Число Авогадро, $N_A = 6.02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$.

Элементарный заряд, $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$.

Перевод в систему СИ:

$S = 25 \text{ мм}^2 = 25 \times (10^{-3} \text{ м})^2 = 25 \times 10^{-6} \text{ м}^2 = 2.5 \times 10^{-5} \text{ м}^2$.

Найти:

Модуль средней скорости упорядоченного движения свободных электронов, $\langle v \rangle$.

Решение

Сила тока $I$ в проводнике связана со средней скоростью упорядоченного движения электронов $\langle v \rangle$ (дрейфовой скоростью) формулой:

$I = n e S \langle v \rangle$

где $n$ — концентрация свободных электронов (число электронов в единице объёма), $e$ — модуль заряда электрона, $S$ — площадь поперечного сечения проводника.

Из этой формулы выразим искомую скорость:

$\langle v \rangle = \frac{I}{n e S}$

Для нахождения скорости необходимо определить концентрацию свободных электронов $n$. По условию задачи, на каждый атом меди приходится один электрон проводимости. Следовательно, концентрация свободных электронов равна концентрации атомов меди в веществе.

Концентрацию атомов $n$ можно найти по формуле:

$n = \frac{\rho N_A}{M}$

где $\rho$ — плотность меди, $N_A$ — число Авогадро, $M$ — молярная масса меди.

Подставим числовые значения и рассчитаем концентрацию электронов:

$n = \frac{8900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \times 6.02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{63.5 \times 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} \approx 8.44 \times 10^{28} \text{ м}^{-3}$

Теперь, зная концентрацию, можем рассчитать среднюю скорость движения электронов, подставив все известные значения в выведенную формулу:

$\langle v \rangle = \frac{50 \text{ А}}{(8.44 \times 10^{28} \text{ м}^{-3}) \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}) \times (2.5 \times 10^{-5} \text{ м}^2)}$

Проведем вычисления:

$\langle v \rangle = \frac{50}{8.44 \times 1.6 \times 2.5 \times 10^{28-19-5}} \frac{\text{А}}{\text{м}^{-3} \cdot \text{Кл} \cdot \text{м}^2} = \frac{50}{33.76 \times 10^4} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$\langle v \rangle \approx 1.48 \times 10^{-4} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Это значение можно также выразить в миллиметрах в секунду:

$\langle v \rangle \approx 1.48 \times 10^{-4} \times 1000 \frac{\text{мм}}{\text{с}} = 0.148 \frac{\text{мм}}{\text{с}}$

Ответ: $\langle v \rangle \approx 1.48 \times 10^{-4} \text{ м/с}$ (или $0.148 \text{ мм/с}$).