Номер 997, страница 182 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряд первой пластины: $q_1 = +q$

Заряд второй (средней) пластины: $q_2 = +2q$

Заряд третьей пластины: $q_3 = -3q$

Расстояние между соседними пластинами: $d$

Площадь каждой пластины: $S$

Электрическая постоянная: $\varepsilon_0$

Найти:

Разность потенциалов между крайними пластинами: $U$

Модуль силы, действующей на среднюю пластину: $F$

Решение:

Определите разность потенциалов U между крайними пластинами

Для нахождения разности потенциалов необходимо сначала определить распределение зарядов по поверхностям пластин, а затем найти напряженность электрического поля в зазорах между ними. Обозначим пластины слева направо как 1, 2 и 3.

1. Распределение зарядов. Суммарный заряд системы равен $Q_{total} = q_1 + q_2 + q_3 = q + 2q - 3q = 0$. Заряд на внешних поверхностях системы (левая поверхность первой пластины и правая поверхность третьей) равен половине суммарного заряда: $q_{1L} = q_{3R} = Q_{total} / 2 = 0$.

2. Следовательно, все заряды крайних пластин сосредоточены на их внутренних поверхностях. Для первой пластины: $q_{1R} = q_1 - q_{1L} = q - 0 = q$. Для третьей пластины: $q_{3L} = q_3 - q_{3R} = -3q - 0 = -3q$.

3. Заряды на обращенных друг к другу поверхностях проводников равны по модулю и противоположны по знаку (эффект электростатической индукции). Таким образом, заряд на левой поверхности второй пластины: $q_{2L} = -q_{1R} = -q$. Заряд на правой поверхности второй пластины: $q_{2R} = -q_{3L} = -(-3q) = 3q$.

4. Проверим, что суммарный заряд на второй пластине равен заданному: $q_{2L} + q_{2R} = -q + 3q = 2q$, что соответствует условию.

5. Напряженность электрического поля в зазорах. Поле между двумя близкими поверхностями с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ и $-\sigma$ равно $E = \sigma / \varepsilon_0$.

Между пластинами 1 и 2 поле создается зарядами $q_{1R} = q$ и $q_{2L} = -q$. Поверхностная плотность заряда $\sigma_{12} = q/S$. Напряженность поля: $E_{12} = \frac{q}{S\varepsilon_0}$. Поле направлено от пластины 1 к пластине 2.

Между пластинами 2 и 3 поле создается зарядами $q_{2R} = 3q$ и $q_{3L} = -3q$. Поверхностная плотность заряда $\sigma_{23} = 3q/S$. Напряженность поля: $E_{23} = \frac{3q}{S\varepsilon_0}$. Поле направлено от пластины 2 к пластине 3.

6. Разность потенциалов. Оба поля $E_{12}$ и $E_{23}$ направлены в одну сторону (слева направо). Разность потенциалов между крайними пластинами 1 и 3 является суммой разностей потенциалов на каждом из зазоров, так как поля сонаправлены: $U = U_{13} = U_{12} + U_{23} = E_{12}d + E_{23}d$.

$U = \left(\frac{q}{S\varepsilon_0} + \frac{3q}{S\varepsilon_0}\right)d = \frac{4qd}{S\varepsilon_0}$.

Ответ: $U = \frac{4qd}{S\varepsilon_0}$.

Определите модуль силы F, действующей на среднюю пластину

Сила, действующая на среднюю пластину (пластину 2), равна произведению ее полного заряда $q_2$ на напряженность внешнего электрического поля $E_{ext}$, создаваемого в месте ее расположения пластинами 1 и 3.

1. Напряженность поля $E_1$, создаваемого пластиной 1 с зарядом $q_1 = +q$. Поле, создаваемое одной большой заряженной пластиной, однородно и равно $E_1 = \frac{q_1}{2S\varepsilon_0}$. Так как заряд $q_1$ положителен, поле направлено от пластины 1, то есть вправо.

$E_1 = \frac{q}{2S\varepsilon_0}$ (направлено вправо).

2. Напряженность поля $E_3$, создаваемого пластиной 3 с зарядом $q_3 = -3q$. Модуль напряженности поля равен $E_3 = \frac{|q_3|}{2S\varepsilon_0}$. Так как заряд $q_3$ отрицателен, поле направлено к пластине 3. Поскольку пластина 3 находится справа от пластины 2, это поле также направлено вправо.

$E_3 = \frac{|-3q|}{2S\varepsilon_0} = \frac{3q}{2S\varepsilon_0}$ (направлено вправо).

3. По принципу суперпозиции, результирующее внешнее поле $E_{ext}$ в месте расположения второй пластины равно векторной сумме полей $E_1$ и $E_3$. Так как оба поля направлены в одну сторону, их модули складываются:

$E_{ext} = E_1 + E_3 = \frac{q}{2S\varepsilon_0} + \frac{3q}{2S\varepsilon_0} = \frac{4q}{2S\varepsilon_0} = \frac{2q}{S\varepsilon_0}$.

4. Сила, действующая на вторую пластину с зарядом $q_2 = +2q$, равна:

$F = q_2 \cdot E_{ext} = (2q) \cdot \left(\frac{2q}{S\varepsilon_0}\right) = \frac{4q^2}{S\varepsilon_0}$.

Так как заряд $q_2$ положителен, а поле $E_{ext}$ направлено вправо, сила $F$ также направлена вправо.

Ответ: $F = \frac{4q^2}{S\varepsilon_0}$.