Номер 994, страница 182 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Конденсатор с горизонтальными пластинами наполовину залит жидким диэлектриком.
Диэлектрическая проницаемость жидкости: $\epsilon$.
Емкость конденсатора в первом (горизонтальном) и втором (вертикальном) случаях одинакова.

Найти:
$x$ - какую часть конденсатора необходимо залить диэлектриком при вертикальном расположении пластин.

Решение:

Введем обозначения: $S$ - площадь каждой пластины, $d$ - расстояние между пластинами, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная. Диэлектрическую проницаемость воздуха примем равной 1.

1. Горизонтальное расположение пластин

В этом случае конденсатор наполовину залит диэлектриком. Такую систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Первый, $C_{воз}$, заполнен воздухом, и расстояние между его обкладками равно $d/2$. Второй, $C_{диэл}$, заполнен диэлектриком с проницаемостью $\epsilon$, и расстояние между его обкладками также равно $d/2$. Площадь пластин у обоих конденсаторов равна $S$.

Емкость воздушного конденсатора: $C_{воз} = \frac{\epsilon_0 \cdot 1 \cdot S}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 S}{d}$.

Емкость конденсатора с диэлектриком: $C_{диэл} = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 \epsilon S}{d}$.

Общая емкость $C_1$ при последовательном соединении вычисляется по формуле:

$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C_{воз}} + \frac{1}{C_{диэл}} = \frac{d}{2\epsilon_0 S} + \frac{d}{2\epsilon_0 \epsilon S} = \frac{d}{2\epsilon_0 S}\left(1 + \frac{1}{\epsilon}\right) = \frac{d(\epsilon+1)}{2\epsilon_0 \epsilon S}$

Следовательно, емкость конденсатора в первом случае равна:

$C_1 = \frac{2\epsilon_0 \epsilon S}{d(\epsilon+1)}$

2. Вертикальное расположение пластин

Пусть $x$ – искомая часть конденсатора (по высоте и, соответственно, по площади), залитая диэлектриком. В этом случае систему можно рассматривать как два параллельно соединенных конденсатора. Первый, $C'_{диэл}$, имеет площадь пластин $xS$ и заполнен диэлектриком. Второй, $C'_{воз}$, имеет площадь $(1-x)S$ и заполнен воздухом. Расстояние между пластинами для обоих конденсаторов равно $d$.

Емкость части с диэлектриком: $C'_{диэл} = \frac{\epsilon_0 \epsilon (xS)}{d}$.

Емкость воздушной части: $C'_{воз} = \frac{\epsilon_0 (1-x)S}{d}$.

Общая емкость $C_2$ при параллельном соединении равна сумме емкостей:

$C_2 = C'_{диэл} + C'_{воз} = \frac{\epsilon_0 \epsilon x S}{d} + \frac{\epsilon_0 (1-x)S}{d} = \frac{\epsilon_0 S}{d}(\epsilon x + 1 - x) = \frac{\epsilon_0 S}{d}(1 + x(\epsilon-1))$

3. Нахождение искомой части $x$

Согласно условию задачи, емкости в обоих случаях равны: $C_1 = C_2$.

$\frac{2\epsilon_0 \epsilon S}{d(\epsilon+1)} = \frac{\epsilon_0 S}{d}(1 + x(\epsilon-1))$

Сократим общий множитель $\frac{\epsilon_0 S}{d}$:

$\frac{2\epsilon}{\epsilon+1} = 1 + x(\epsilon-1)$

Теперь выразим $x$ из этого уравнения:

$x(\epsilon-1) = \frac{2\epsilon}{\epsilon+1} - 1$

$x(\epsilon-1) = \frac{2\epsilon - (\epsilon+1)}{\epsilon+1}$

$x(\epsilon-1) = \frac{\epsilon-1}{\epsilon+1}$

Поскольку $\epsilon \ne 1$ (иначе это не диэлектрик, а воздух), можно разделить обе части на $(\epsilon-1)$:

$x = \frac{1}{\epsilon+1}$

Ответ: необходимо залить часть конденсатора, равную $\frac{1}{\epsilon+1}$.