Номер 987, страница 181 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 1,0 \text{ дм}^2$

$d = 5,0 \text{ мм}$

Конденсатор сначала воздушный ($\epsilon_1 = 1$), затем погружен в глицерин (диэлектрическая проницаемость глицерина $\epsilon_2 = 42$ - справочное значение).

Электрическая постоянная $\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.

Перевод в систему СИ:

$S = 1,0 \text{ дм}^2 = 1,0 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

$d = 5,0 \text{ мм} = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$C_1, C_2$

Решение:

Конденсатор состоит из трех пластин. Крайние пластины (верхняя и нижняя) соединены с одним полюсом источника, а средняя — с другим. Такая схема представляет собой два одинаковых плоских конденсатора, соединенных параллельно. Первый конденсатор образован верхней и средней обкладками, второй — средней и нижней.

При параллельном соединении общая электроемкость системы равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов.

Определите электроемкость конденсатора C₁

Сначала конденсатор находится в воздухе, диэлектрическая проницаемость которого $\epsilon_1 \approx 1$. Электроемкость одного такого плоского конденсатора с площадью обкладок $S$ и расстоянием между ними $d$ вычисляется по формуле:

$C_0 = \frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d}$

Так как наша система состоит из двух таких конденсаторов, соединенных параллельно, их общая электроемкость $C_1$ будет:

$C_1 = C_0 + C_0 = 2 C_0 = 2 \frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d}$

Подставим числовые значения:

$C_1 = 2 \cdot \frac{1 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}{5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 3,54 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Переведем в пикофарады ($1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$):

$C_1 = 35,4 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 35 \text{ пФ}$

Ответ: $C_1 \approx 35 \text{ пФ}$.

Найдите электроемкость C₂ конденсатора при погружении его в глицерин

При погружении конденсатора в глицерин, пространство между обкладками заполняется диэлектриком с проницаемостью $\epsilon_2 = 42$. Формула для общей электроемкости $C_2$ будет аналогичной, но с учетом диэлектрической проницаемости глицерина:

$C_2 = 2 \frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d}$

Можно заметить, что электроемкость конденсатора с диэлектриком в $\epsilon$ раз больше электроемкости такого же конденсатора в вакууме (или воздухе):

$C_2 = \epsilon_2 \cdot C_1$

Подставим значения:

$C_2 = 42 \cdot 3,54 \cdot 10^{-11} \text{ Ф} \approx 1,487 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Переведем в нанофарады ($1 \text{ нФ} = 10^{-9} \text{ Ф}$):

$C_2 \approx 1,5 \text{ нФ}$

Ответ: $C_2 \approx 1,5 \text{ нФ}$.