Номер 981, страница 180 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Электроемкость воздушного конденсатора: $C_0$

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика: $\epsilon$

Итоговая электроемкость батареи конденсаторов: $C_{общ} = C_0$

Найти:

Электроемкость $C_x$

Решение:

Начальная электроемкость воздушного конденсатора равна $C_0$. Когда пространство между обкладками конденсатора заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, его электроемкость увеличивается в $\epsilon$ раз. Обозначим новую электроемкость этого конденсатора как $C_1$.

$C_1 = \epsilon \cdot C_0$

К этому конденсатору с емкостью $C_1$ последовательно подключают другой конденсатор с искомой электроемкостью $C_x$. Общая электроемкость $C_{общ}$ при последовательном соединении двух конденсаторов определяется по формуле:

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_x}$

Согласно условию задачи, итоговая электроемкость батареи должна снова стать равной $C_0$. Таким образом, $C_{общ} = C_0$. Подставим известные значения в формулу для последовательного соединения:

$\frac{1}{C_0} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_x}$

Теперь подставим выражение для $C_1$:

$\frac{1}{C_0} = \frac{1}{\epsilon C_0} + \frac{1}{C_x}$

Выразим из этого уравнения величину $\frac{1}{C_x}$:

$\frac{1}{C_x} = \frac{1}{C_0} - \frac{1}{\epsilon C_0}$

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю $\epsilon C_0$:

$\frac{1}{C_x} = \frac{\epsilon}{\epsilon C_0} - \frac{1}{\epsilon C_0} = \frac{\epsilon - 1}{\epsilon C_0}$

Чтобы найти $C_x$, перевернем полученное выражение:

$C_x = \frac{\epsilon C_0}{\epsilon - 1}$

Ответ: необходимо включить конденсатор электроемкостью $C_x = \frac{\epsilon C_0}{\epsilon - 1}$.