Номер 979, страница 180 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора

Соединение последовательное

Источник напряжения $U$ = const

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика $ \epsilon = 9,0 $

Найти:

Во сколько раз $n$ изменится модуль напряженности электростатического поля в каждом конденсаторе ($n_1 = E_1'/E_1$, $n_2 = E_2'/E_2$).

Решение:

Рассмотрим систему в двух состояниях: до и после внесения диэлектрика.

1. Начальное состояние (до внесения диэлектрика).

Два одинаковых конденсатора имеют одинаковую емкость $C_0$. При последовательном соединении общая емкость батареи конденсаторов равна:

$C_{общ} = \frac{C_0 \cdot C_0}{C_0 + C_0} = \frac{C_0^2}{2C_0} = \frac{C_0}{2}$

Общий заряд на батарее конденсаторов:

$q = C_{общ} \cdot U = \frac{C_0 U}{2}$

При последовательном соединении заряды на каждом конденсаторе равны общему заряду: $q_1 = q_2 = q$.

Напряжение на каждом из одинаковых конденсаторов будет одинаковым и равно половине общего напряжения:

$U_1 = U_2 = \frac{q}{C_0} = \frac{C_0 U / 2}{C_0} = \frac{U}{2}$

Модуль напряженности электрического поля в плоском конденсаторе связан с напряжением и расстоянием между обкладками $d$ как $E = U/d$. Тогда начальная напряженность в каждом конденсаторе:

$E_1 = E_2 = \frac{U_1}{d} = \frac{U}{2d}$

2. Конечное состояние (после внесения диэлектрика).

В один из конденсаторов (пусть это будет второй) вносят диэлектрик. Его емкость увеличивается в $\epsilon$ раз:

$C_1' = C_0$

$C_2' = \epsilon C_0$

Новая общая емкость батареи:

$C_{общ}' = \frac{C_1' \cdot C_2'}{C_1' + C_2'} = \frac{C_0 \cdot \epsilon C_0}{C_0 + \epsilon C_0} = \frac{\epsilon C_0^2}{C_0(1 + \epsilon)} = C_0 \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}$

Так как конденсаторы подключены к источнику, напряжение на батарее остается равным $U$. Новый общий заряд на батарее:

$q' = C_{общ}' \cdot U = C_0 U \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}$

Заряды на конденсаторах равны новому общему заряду: $q_1' = q_2' = q'$.

Найдем новые напряжения на каждом конденсаторе:

Напряжение на первом конденсаторе (без диэлектрика):

$U_1' = \frac{q_1'}{C_1'} = \frac{C_0 U \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}}{C_0} = U \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}$

Напряжение на втором конденсаторе (с диэлектриком):

$U_2' = \frac{q_2'}{C_2'} = \frac{C_0 U \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}}{\epsilon C_0} = U \frac{1}{1 + \epsilon}$

Теперь найдем новые напряженности полей:

Напряженность в первом конденсаторе:

$E_1' = \frac{U_1'}{d} = \frac{U}{d} \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}$

Напряженность во втором конденсаторе:

$E_2' = \frac{U_2'}{d} = \frac{U}{d} \frac{1}{1 + \epsilon}$

3. Найдем отношения напряженностей.

Для конденсатора, оставшегося без диэлектрика:

Найдем отношение конечной напряженности к начальной:

$n_1 = \frac{E_1'}{E_1} = \frac{\frac{U}{d} \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}}{\frac{U}{2d}} = \frac{2\epsilon}{1 + \epsilon}$

Подставим значение $\epsilon = 9,0$:

$n_1 = \frac{2 \cdot 9,0}{1 + 9,0} = \frac{18}{10} = 1,8$

Так как $n_1 > 1$, напряженность поля в этом конденсаторе увеличилась.

Ответ: напряженность поля в конденсаторе без диэлектрика увеличится в 1,8 раза.

Для конденсатора, в который внесли диэлектрик:

Найдем отношение конечной напряженности к начальной:

$n_2 = \frac{E_2'}{E_2} = \frac{\frac{U}{d} \frac{1}{1 + \epsilon}}{\frac{U}{2d}} = \frac{2}{1 + \epsilon}$

Подставим значение $\epsilon = 9,0$:

$n_2 = \frac{2}{1 + 9,0} = \frac{2}{10} = 0,2$

Так как $n_2 < 1$, напряженность поля в этом конденсаторе уменьшилась. Чтобы найти, во сколько раз она уменьшилась, нужно найти обратное отношение $1/n_2 = 1/0,2 = 5$.

Ответ: напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком уменьшится в 5 раз.