Номер 972, страница 179 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина пластин конденсатора, $l = 50 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Угол влета электрона, $\alpha = 15^\circ$

Кинетическая энергия электрона, $W = 1,5 \text{ кэВ} = 1,5 \cdot 10^3 \text{ эВ} = 1,5 \cdot 10^3 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2,4 \cdot 10^{-16} \text{ Дж}$

Расстояние между обкладками, $d = 10 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Элементарный заряд, $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

Напряжение на конденсаторе, $U$.

Решение:

Движение электрона внутри конденсатора можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения вдоль пластин (ось ОХ) и равноускоренного движения перпендикулярно пластинам (ось ОY).

Начальная скорость электрона $v_0$ связана с его кинетической энергией $W$ формулой:

$W = \frac{m_e v_0^2}{2}$

Разложим вектор начальной скорости на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Поскольку в горизонтальном направлении сила не действует, движение вдоль оси ОХ равномерное. Время пролета электрона через конденсатор $t$ равно:

$t = \frac{l}{v_{0x}} = \frac{l}{v_0 \cos\alpha}$

В вертикальном направлении на электрон действует постоянная электрическая сила $F_y = eE$, где $E = \frac{U}{d}$ – напряженность однородного электрического поля в конденсаторе. Эта сила создает ускорение:

$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eE}{m_e} = \frac{eU}{m_e d}$

Согласно условию задачи, при выходе из конденсатора электрон движется параллельно обкладкам. Это означает, что его вертикальная составляющая скорости $v_y$ в момент времени $t$ становится равной нулю. Ускорение $a_y$ должно быть направлено противоположно начальной вертикальной скорости $v_{0y}$.

Из уравнения скорости для равноускоренного движения:

$v_y = v_{0y} - a_y t$

Так как $v_y = 0$, получаем:

$v_{0y} = a_y t$

Подставим в это равенство выражения для $v_{0y}$, $a_y$ и $t$:

$v_0 \sin\alpha = \left( \frac{eU}{m_e d} \right) \cdot \left( \frac{l}{v_0 \cos\alpha} \right)$

Перегруппируем члены, чтобы выразить напряжение $U$:

$U = \frac{m_e v_0^2 d \sin\alpha \cos\alpha}{el}$

Заметим, что $m_e v_0^2 = 2W$. Подставим это в формулу:

$U = \frac{2W d \sin\alpha \cos\alpha}{el}$

Воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $:

$U = \frac{W d \sin(2\alpha)}{el}$

Кинетическая энергия дана в килоэлектрон-вольтах. Переведем ее в джоули по определению: $W [\text{Дж}] = W [\text{эВ}] \cdot e$. Пусть $W_{эВ}$ — численное значение энергии в электрон-вольтах ($W_{эВ} = 1,5 \cdot 10^3$). Тогда $W = W_{эВ} \cdot e$. Подставим это в нашу формулу:

$U = \frac{(W_{эВ} \cdot e) d \sin(2\alpha)}{el} = \frac{W_{эВ} d \sin(2\alpha)}{l}$

Эта формула позволяет провести расчет, не используя значения заряда и массы электрона. Результат для $U$ будет в вольтах, если $W_{эВ}$ подставить как напряжение в вольтах ($1,5 \text{ кэВ} \rightarrow 1500 \text{ В}$).

Проведем вычисления:

$2\alpha = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$

$\sin(30^\circ) = 0,5$

$U = \frac{1,5 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot 1 \cdot 10^{-2} \text{ м} \cdot 0,5}{5 \cdot 10^{-2} \text{ м}} = \frac{1500 \cdot 0,01 \cdot 0,5}{0,05} = \frac{7,5}{0,05} = 150 \text{ В}$

Ответ: напряжение на конденсаторе должно быть $150 \text{ В}$.