Номер 970, страница 178 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная скорость электрона $v_0 = 10 \frac{Мм}{с}$

Расстояние между обкладками конденсатора $d = 2,0 \text{ см}$

Длина обкладок конденсатора $l = 2,0 \text{ см}$

Элементарный заряд $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (справочное значение)

Масса электрона $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 10 \frac{Мм}{с} = 10 \cdot 10^6 \frac{м}{с} = 1 \cdot 10^7 \frac{м}{с}$

$d = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$l = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

Минимальную разность потенциалов $U_{min}$.

Решение:

Движение электрона внутри конденсатора можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения вдоль пластин (ось OX) и равноускоренного движения перпендикулярно пластинам (ось OY), так как электрическое поле внутри конденсатора однородно и направлено перпендикулярно пластинам.

1. Движение вдоль оси OX (параллельно пластинам):

На электрон в этом направлении не действуют силы, поэтому его скорость $v_x$ постоянна и равна начальной скорости $v_0$. Время, за которое электрон пролетит расстояние, равное длине пластин $l$, определяется как:

$t = \frac{l}{v_0}$

2. Движение вдоль оси OY (перпендикулярно пластинам):

На электрон действует постоянная электрическая сила $F_y = eE$, где $E$ – напряженность электрического поля. Напряженность связана с разностью потенциалов $U$ и расстоянием между пластинами $d$ соотношением $E = \frac{U}{d}$.

Таким образом, сила, действующая на электрон: $F_y = e\frac{U}{d}$.

Согласно второму закону Ньютона ($F_y = m_e a_y$), эта сила сообщает электрону ускорение:

$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eU}{m_e d}$

Электрон влетает в конденсатор посередине, то есть на расстоянии $\frac{d}{2}$ от каждой пластины. Чтобы электрон не вылетел из конденсатора, его смещение по оси OY за время полета $t$ должно быть как минимум равно $\frac{d}{2}$. В предельном случае (минимальное напряжение $U$) электрон коснется одной из пластин в самом конце ее длины.

Вертикальное смещение при равноускоренном движении из состояния покоя ($v_{0y} = 0$) равно:

$y(t) = \frac{a_y t^2}{2}$

Приравниваем это смещение к $\frac{d}{2}$ и подставляем время полета $t = \frac{l}{v_0}$:

$\frac{d}{2} = \frac{a_y}{2} \left(\frac{l}{v_0}\right)^2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для ускорения $a_y$:

$\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{eU}{m_e d} \cdot \frac{l^2}{v_0^2}$

Выразим из полученного уравнения искомую разность потенциалов $U$:

$d = \frac{eU l^2}{m_e d v_0^2}$

$U = \frac{m_e v_0^2 d^2}{e l^2}$

По условию задачи $d = l = 2,0 \text{ см}$, поэтому формула значительно упрощается:

$U = \frac{m_e v_0^2}{e}$

Произведем вычисления:

$U = \frac{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1 \cdot 10^7 \frac{м}{с})^2}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{14}}{1,6 \cdot 10^{-19}} \text{ В}$

$U = \frac{9,1 \cdot 10^{-17}}{1,6 \cdot 10^{-19}} \text{ В} \approx 5,6875 \cdot 10^2 \text{ В}$

С учетом того, что данные в задаче приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат:

$U \approx 5,7 \cdot 10^2 \text{ В} = 570 \text{ В}$

Ответ: Наименьшая разность потенциалов, которую необходимо приложить к обкладкам, составляет примерно 570 В.