Номер 963, страница 177 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Поскольку задача ссылается на предыдущую, воспользуемся данными из типовой задачи (например, №962 из сборника В.С. Волькенштейн):

Ускоряющее напряжение $U_a = 6$ кВ

Длина отклоняющих пластин $l = 10$ см

Расстояние между пластинами $d = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$U_a = 6 \times 10^3$ В

$l = 0.1$ м

$d = 0.02$ м

Найти:

$U_{max}$

Решение:

Электроны могут попасть на экран, если они не столкнутся с отклоняющими пластинами. Электрон влетает в пространство между пластинами ровно посередине. Максимальное напряжение $U_{max}$ соответствует предельному случаю, когда вертикальное смещение электрона $y$ при вылете из пластин равно половине расстояния между ними, то есть $y_{max} = d/2$.

1. Начальная скорость $v_x$, с которой электрон влетает в область между пластинами, определяется работой ускоряющего электрического поля. По теореме о кинетической энергии:

$\frac{m_e v_x^2}{2} = e U_a$

где $e$ – заряд электрона, а $m_e$ – его масса. Отсюда выразим квадрат скорости:

$v_x^2 = \frac{2 e U_a}{m_e}$

2. В области между пластинами на электрон действует однородное электрическое поле, направленное перпендикулярно начальной скорости (вдоль оси Y). Движение электрона можно разложить на два независимых движения: равномерное вдоль оси X и равноускоренное вдоль оси Y.

Время пролета электрона между пластинами длиной $l$ составляет:

$t = \frac{l}{v_x}$

3. Вертикальное ускорение $a_y$ вызвано силой $F_y = eE$, где $E$ - напряженность электрического поля между пластинами. Напряженность связана с напряжением $U_d$ и расстоянием $d$ соотношением $E = U_d/d$. По второму закону Ньютона:

$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{e E}{m_e} = \frac{e U_d}{m_e d}$

4. Вертикальное смещение $y$ за время $t$ при начальной вертикальной скорости, равной нулю, равно:

$y = \frac{a_y t^2}{2}$

Подставим в эту формулу выражения для $a_y$ и $t$:

$y = \frac{1}{2} \left( \frac{e U_d}{m_e d} \right) \left( \frac{l}{v_x} \right)^2 = \frac{e U_d l^2}{2 m_e d v_x^2}$

5. Теперь подставим выражение для $v_x^2$ из пункта 1:

$y = \frac{e U_d l^2}{2 m_e d \left( \frac{2 e U_a}{m_e} \right)} = \frac{e U_d l^2 m_e}{4 m_e d e U_a} = \frac{U_d l^2}{4 d U_a}$

6. Применим предельное условие: при максимальном напряжении $U_{max}$ смещение $y$ равно $d/2$:

$\frac{d}{2} = \frac{U_{max} l^2}{4 d U_a}$

7. Выразим искомое максимальное напряжение $U_{max}$:

$U_{max} = \frac{d}{2} \cdot \frac{4 d U_a}{l^2} = \frac{2 d^2 U_a}{l^2}$

8. Произведем вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$U_{max} = \frac{2 \cdot (0.02 \text{ м})^2 \cdot (6 \times 10^3 \text{ В})}{(0.1 \text{ м})^2} = \frac{2 \cdot 0.0004 \text{ м}^2 \cdot 6000 \text{ В}}{0.01 \text{ м}^2} = \frac{4.8}{0.01} \text{ В} = 480$ В

Ответ:

Максимальное напряжение между отклоняющими пластинами составляет $U_{max} = 480$ В.