Номер 956, страница 176 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,0$ м

$q = 20$ мкКл

$q_1 = -q$

$v = 5,1$ м/с

$r = 2,0$ м

Перевод в систему СИ:

$q = 20 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

$m - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для системы, состоящей из шарика, Земли и неподвижного заряда $q_1$. Полная энергия системы $E$ складывается из кинетической энергии шарика $K$, его потенциальной энергии в поле тяжести $U_g$ и потенциальной энергии взаимодействия зарядов $U_e$: $E = K + U_g + U_e$.

Рассмотрим два состояния системы:

1. Начальное состояние: шарик находится в горизонтальном положении, его скорость $v_1 = 0$.

2. Конечное состояние: шарик проходит положение равновесия (нижнюю точку траектории), его скорость $v_2 = v$.

Закон сохранения энергии: $E_1 = E_2$ или $K_1 + U_{g1} + U_{e1} = K_2 + U_{g2} + U_{e2}$.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии силы тяжести положение равновесия шарика (нижняя точка).Тогда в начальном состоянии высота шарика над этим уровнем равна длине нити $l$, а в конечном состоянии высота равна нулю.$U_{g1} = mgl$$U_{g2} = 0$

Кинетическая энергия в начальном состоянии равна нулю, так как шарик отпускают без начальной скорости. В конечном состоянии кинетическая энергия равна:$K_1 = 0$$K_2 = \frac{mv^2}{2}$

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов определяется формулой $U_e = k \frac{q q_1}{r_{dist}}$. Так как $q_1 = -q$, то $U_e = -k \frac{q^2}{r_{dist}}$, где $r_{dist}$ – расстояние между зарядами.

В начальном состоянии расстояние между зарядами по условию равно $r_1 = r = 2,0$ м.$U_{e1} = -k \frac{q^2}{r}$

Найдем расстояние между зарядами $r_2$ в момент прохождения шариком положения равновесия. Неподвижный заряд $q_1$ находится на одной вертикали с точкой подвеса. Пусть точка подвеса – O, начальное положение шарика – H, положение равновесия – E, а положение заряда $q_1$ – F. Точки O, E, F лежат на одной вертикали. Треугольник OHF является прямоугольным, где OH = $l$ (горизонтальный катет), HF = $r$ (гипотенуза). Вертикальное расстояние от точки подвеса до заряда $q_1$ (катет OF) найдем по теореме Пифагора: $OF = \sqrt{HF^2 - OH^2} = \sqrt{r^2 - l^2}$.Расстояние между зарядами в положении равновесия $r_2$ равно разности расстояний $OF$ и $OE=l$:$r_2 = OF - OE = \sqrt{r^2 - l^2} - l$.Тогда потенциальная энергия взаимодействия в конечном состоянии:$U_{e2} = -k \frac{q^2}{r_2} = -k \frac{q^2}{\sqrt{r^2 - l^2} - l}$

Подставим все выражения в закон сохранения энергии:$0 + mgl + (-k \frac{q^2}{r}) = \frac{mv^2}{2} + 0 + (-k \frac{q^2}{\sqrt{r^2 - l^2} - l})$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить массу $m$:$mgl - \frac{mv^2}{2} = k \frac{q^2}{r} - k \frac{q^2}{\sqrt{r^2 - l^2} - l}$$m(gl - \frac{v^2}{2}) = k q^2 (\frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 - l^2} - l})$$m = \frac{k q^2 (\frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 - l^2} - l})}{gl - \frac{v^2}{2}}$

Произведем вычисления. Примем $g \approx 9,8$ м/с², $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

Вычислим знаменатель:$gl - \frac{v^2}{2} = 9,8 \cdot 1,0 - \frac{(5,1)^2}{2} = 9,8 - \frac{26,01}{2} = 9,8 - 13,005 = -3,205$ (Дж/кг)

Вычислим множители в числителе:$k q^2 = 9 \cdot 10^9 \cdot (20 \cdot 10^{-6})^2 = 9 \cdot 10^9 \cdot 400 \cdot 10^{-12} = 3,6 \cdot 10^{-3} \cdot 10^3 = 3,6$ (Н·м²)$\sqrt{r^2 - l^2} - l = \sqrt{(2,0)^2 - (1,0)^2} - 1,0 = \sqrt{3} - 1 \approx 1,732 - 1 = 0,732$ (м)$\frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 - l^2} - l} = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3} - 1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866$ (м⁻¹)

Вычислим числитель:$3,6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1,8\sqrt{3} \approx -1,8 \cdot 1,732 = -3,1176$ (Дж·м)

Найдем массу:$m = \frac{-3,1176}{-3,205} \approx 0,9727$ (кг)

Округляя до двух значащих цифр, получаем $m \approx 0,97$ кг.

Ответ: $m \approx 0,97$ кг.