Номер 957, страница 176 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

m = 1,0 г = $1.0 \times 10^{-3}$ кг
$q_1$ = 2,0 мкКл = $2.0 \times 10^{-6}$ Кл
l = 1,0 м
а) $q_2$ = 6,0 мкКл = $6.0 \times 10^{-6}$ Кл, AO = $\frac{4l}{3}$
б) $q_2 = -q_1 = -2.0 \times 10^{-6}$ Кл, BO = $2l$
k = $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл²
g $\approx$ 9,8 м/с²

Найти:

Минимальное значение скорости $v_0$ в нижней точке для случаев а) и б).

Решение:

Для решения задачи используется закон сохранения полной механической энергии. Система является консервативной, так как на шарик действуют консервативные силы (сила тяжести и кулоновская сила) и сила натяжения нити, работа которой равна нулю (она всегда перпендикулярна скорости).

Полная энергия шарика E складывается из кинетической энергии K, потенциальной энергии в поле силы тяжести $U_g$ и потенциальной энергии в электростатическом поле $U_e$:

$E = K + U_g + U_e = \frac{mv^2}{2} + mgh + \frac{k q_1 q_2}{r}$

где $v$ - скорость шарика, $h$ - его высота относительно нижней точки, $r$ - расстояние между зарядами $q_1$ и $q_2$.

Запишем закон сохранения энергии для начального (нижняя точка) и конечного (верхняя точка) положений:

$E_{нижн} = E_{верх}$

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh_{нижн} + U_{e, нижн} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mgh_{верх} + U_{e, верх}$

Примем высоту в нижней точке за ноль, $h_{нижн} = 0$. Тогда высота в верхней точке $h_{верх} = 2l$.

$\frac{mv_0^2}{2} + U_{e, нижн} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + mg(2l) + U_{e, верх}$

Минимальная начальная скорость $v_0$ соответствует условию, что шарик достигает верхней точки, и при этом сила натяжения нити $T$ становится равной нулю ($T=0$). В верхней точке на шарик действуют сила тяжести $mg$, сила натяжения нити $T$ и вертикальная составляющая кулоновской силы $F_{e, верт}$. Все они направлены к центру окружности (вниз). Второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление:

$T + mg + F_{e, верт} = \frac{mv_{верх}^2}{l}$

При $T=0$:

$mg + F_{e, верт} = \frac{mv_{верх}^2}{l}$

Из этого уравнения мы найдем минимально необходимую скорость в верхней точке $v_{верх}$. Затем, подставив ее в закон сохранения энергии, найдем искомую скорость $v_0$.

а) $q_2 = 6,0 \times 10^{-6}$ Кл, расстояние $AO = \frac{4l}{3}$

Найдем расстояние от заряда $q_2$ (в точке А) до шарика в нижней и верхней точках траектории.

В нижней точке: $r_{нижн} = \sqrt{(AO)^2 + l^2} = \sqrt{(\frac{4l}{3})^2 + l^2} = \sqrt{\frac{16l^2}{9} + l^2} = \sqrt{\frac{25l^2}{9}} = \frac{5l}{3}$.

В верхней точке: $r_{верх} = \sqrt{(AO)^2 + l^2} = \sqrt{(\frac{4l}{3})^2 + l^2} = \frac{5l}{3}$.

Так как $r_{нижн} = r_{верх}$, то $U_{e, нижн} = U_{e, верх}$. Закон сохранения энергии упрощается:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_{верх}^2}{2} + 2mgl \implies v_0^2 = v_{верх}^2 + 4gl$.

Теперь найдем $v_{верх}$. Кулоновская сила отталкивания $F_e$ направлена от заряда $q_2$. В верхней точке ее вертикальная составляющая направлена вниз.

$F_e = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{верх}^2} = \frac{9 \times 10^9 \cdot (2.0 \times 10^{-6}) \cdot (6.0 \times 10^{-6})}{(\frac{5 \cdot 1.0}{3})^2} = \frac{0.108}{(\frac{25}{9})} = 0.03888$ Н.

Вертикальная составляющая $F_{e, верт} = F_e \cos\theta$, где $\theta$ - угол между направлением силы и вертикалью. Из геометрии $\cos\theta = \frac{l}{r_{верх}} = \frac{l}{5l/3} = \frac{3}{5}$.

$F_{e, верт} = 0.03888 \cdot \frac{3}{5} = 0.023328$ Н.

Сила тяжести: $mg = 1.0 \times 10^{-3} \cdot 9.8 = 0.0098$ Н.

Найдем квадрат скорости в верхней точке из условия $T=0$:

$\frac{mv_{верх}^2}{l} = mg + F_{e, верт} = 0.0098 + 0.023328 = 0.033128$ Н.

$v_{верх}^2 = \frac{l \cdot 0.033128}{m} = \frac{1.0 \cdot 0.033128}{1.0 \times 10^{-3}} = 33.128$ (м/с)².

Теперь найдем $v_0$:

$v_0^2 = v_{верх}^2 + 4gl = 33.128 + 4 \cdot 9.8 \cdot 1.0 = 33.128 + 39.2 = 72.328$ (м/с)².

$v_0 = \sqrt{72.328} \approx 8.5$ м/с.

Ответ: $v_0 \approx 8.5$ м/с.

б) $q_2 = -q_1 = -2,0 \times 10^{-6}$ Кл, расстояние $BO = 2l$

Найдем расстояние от заряда $q_2$ (в точке B) до шарика.

В нижней точке: $r_{нижн} = \sqrt{(BO)^2 + l^2} = \sqrt{(2l)^2 + l^2} = \sqrt{5l^2} = l\sqrt{5}$.

В верхней точке: $r_{верх} = \sqrt{(BO)^2 + l^2} = \sqrt{(2l)^2 + l^2} = l\sqrt{5}$.

Снова $r_{нижн} = r_{верх}$, поэтому $U_{e, нижн} = U_{e, верх}$ и закон сохранения энергии имеет тот же вид:

$v_0^2 = v_{верх}^2 + 4gl$.

Найдем $v_{верх}$. Кулоновская сила притяжения $F_e$ направлена к заряду $q_2$. В верхней точке ее вертикальная составляющая направлена вниз.

$F_e = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{верх}^2} = \frac{k q_1^2}{(l\sqrt{5})^2} = \frac{9 \times 10^9 \cdot (2.0 \times 10^{-6})^2}{5 \cdot (1.0)^2} = \frac{9 \times 10^9 \cdot 4 \times 10^{-12}}{5} = \frac{0.036}{5} = 0.0072$ Н.

Вертикальная составляющая $F_{e, верт} = F_e \cos\alpha$, где $\cos\alpha = \frac{l}{r_{верх}} = \frac{l}{l\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

$F_{e, верт} = 0.0072 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.00322$ Н.

Сила тяжести $mg = 0.0098$ Н.

Найдем квадрат скорости в верхней точке из условия $T=0$:

$\frac{mv_{верх}^2}{l} = mg + F_{e, верт} = 0.0098 + 0.00322 = 0.01302$ Н.

$v_{верх}^2 = \frac{l \cdot 0.01302}{m} = \frac{1.0 \cdot 0.01302}{1.0 \times 10^{-3}} = 13.02$ (м/с)².

Теперь найдем $v_0$:

$v_0^2 = v_{верх}^2 + 4gl = 13.02 + 4 \cdot 9.8 \cdot 1.0 = 13.02 + 39.2 = 52.22$ (м/с)².

$v_0 = \sqrt{52.22} \approx 7.2$ м/с.

Ответ: $v_0 \approx 7.2$ м/с.