Номер 961, страница 177 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Электрон влетает в однородное электростатическое поле.

$E$ - модуль напряженности поля.

$\vec{v}$ - начальная скорость электрона.

$\vec{v} \perp \vec{E}$

$\Delta t$ - промежуток времени.

Будем считать известными массу электрона $m$ и модуль его заряда $e$.

Найти:

$W$ - кинетическая энергия электрона через время $\Delta t$.

$A$ - работа силы поля за время $\Delta t$.

Решение:

На электрон в электрическом поле действует сила Кулона $\vec{F} = q\vec{E}$. Так как заряд электрона $q = -e$, сила, действующая на него, равна $\vec{F} = -e\vec{E}$. Модуль этой силы постоянен и равен $F = eE$. Направление силы $\vec{F}$ противоположно направлению вектора напряженности $\vec{E}$.

Введем прямоугольную систему координат. Направим ось $OX$ по направлению начальной скорости электрона $\vec{v}$. Поскольку по условию $\vec{v} \perp \vec{E}$, то вектор $\vec{E}$ (и, следовательно, сила $\vec{F}$) будет перпендикулярен оси $OX$. Направим ось $OY$ вдоль вектора силы $\vec{F}$.

В выбранной системе координат начальная скорость имеет компоненты $v_{0x} = v$, $v_{0y} = 0$.

Согласно второму закону Ньютона, сила поля сообщает электрону ускорение $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$. Проекции ускорения на оси координат:

$a_x = 0$

$a_y = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m}$

Таким образом, движение электрона можно рассматривать как наложение двух независимых движений: равномерного вдоль оси $OX$ и равноускоренного без начальной скорости вдоль оси $OY$.

Найдем компоненты скорости электрона через промежуток времени $\Delta t$:

$v_x(\Delta t) = v_{0x} + a_x \Delta t = v + 0 = v$

$v_y(\Delta t) = v_{0y} + a_y \Delta t = 0 + \frac{eE}{m}\Delta t = \frac{eE\Delta t}{m}$

Квадрат модуля итоговой скорости $v_{\text{кон}}$ найдем по теореме Пифагора:

$v_{\text{кон}}^2 = v_x^2 + v_y^2 = v^2 + \left(\frac{eE\Delta t}{m}\right)^2$

1. Определение кинетической энергии W

Кинетическая энергия электрона $W$ через время $\Delta t$ определяется формулой:

$W = \frac{m v_{\text{кон}}^2}{2} = \frac{m}{2} \left( v^2 + \left(\frac{eE\Delta t}{m}\right)^2 \right) = \frac{mv^2}{2} + \frac{m}{2} \frac{e^2E^2(\Delta t)^2}{m^2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{e^2E^2(\Delta t)^2}{2m}$

Ответ: $W = \frac{mv^2}{2} + \frac{e^2E^2(\Delta t)^2}{2m}$

2. Определение работы A

Работу $A$ силы поля можно найти по теореме об изменении кинетической энергии: $A = \Delta W = W - W_0$, где $W_0 = \frac{mv^2}{2}$ — начальная кинетическая энергия электрона.

$A = \left(\frac{mv^2}{2} + \frac{e^2E^2(\Delta t)^2}{2m}\right) - \frac{mv^2}{2} = \frac{e^2E^2(\Delta t)^2}{2m}$

Ответ: $A = \frac{e^2E^2(\Delta t)^2}{2m}$