Номер 962, страница 177 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U = 0,30 \text{ кВ} = 300 \text{ В}$

$l_1 = 12 \text{ см} = 0,12 \text{ м}$

$s = 3,0 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

$l = 6,0 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

$d = 1,4 \text{ см} = 0,014 \text{ м}$

Найти:

$U_1$

Решение:

Движение электрона можно разделить на два основных этапа: ускорение в электростатическом поле и движение в поле отклоняющих пластин и за их пределами.

1. При ускорении электростатическим полем с разностью потенциалов $U$ электрон приобретает кинетическую энергию. Согласно теореме о кинетической энергии, работа поля равна изменению кинетической энергии:

$eU = \frac{m v_x^2}{2}$

где $e$ – заряд электрона, $m$ – его масса, а $v_x$ – скорость, с которой электрон влетает в область между отклоняющими пластинами. Эта скорость направлена горизонтально.

Отсюда выразим квадрат горизонтальной скорости:

$v_x^2 = \frac{2eU}{m}$

2. Между отклоняющими пластинами создается однородное электрическое поле, напряженность которого $E = \frac{U_1}{d}$. Это поле направлено перпендикулярно начальной скорости электрона (вертикально) и сообщает ему ускорение $a_y$ в этом направлении:

$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m} = \frac{eU_1}{md}$

Время пролета электрона между пластинами длиной $l$ составляет:

$t = \frac{l}{v_x}$

За это время электрон смещается в вертикальном направлении на расстояние $y_1$ и приобретает вертикальную скорость $v_y$.

$y_1 = \frac{a_y t^2}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{eU_1}{md}\right) \left(\frac{l}{v_x}\right)^2 = \frac{eU_1 l^2}{2mdv_x^2}$

$v_y = a_y t = \frac{eU_1 l}{mdv_x}$

3. После вылета из пластин электрон движется равномерно и прямолинейно до экрана. Горизонтальное расстояние до экрана $l_1$, время полета на этом участке $t_1 = \frac{l_1}{v_x}$. Вертикальное смещение за это время $y_2$:

$y_2 = v_y t_1 = \left(\frac{eU_1 l}{mdv_x}\right) \frac{l_1}{v_x} = \frac{eU_1 l l_1}{mdv_x^2}$

Полное вертикальное смещение $s$ на экране равно сумме смещений $y_1$ и $y_2$:

$s = y_1 + y_2 = \frac{eU_1 l^2}{2mdv_x^2} + \frac{eU_1 l l_1}{mdv_x^2} = \frac{eU_1 l}{mdv_x^2} \left(\frac{l}{2} + l_1\right)$

Теперь подставим в это выражение $v_x^2 = \frac{2eU}{m}$:

$s = \frac{eU_1 l}{md \left(\frac{2eU}{m}\right)} \left(\frac{l}{2} + l_1\right) = \frac{eU_1 l m}{md \cdot 2eU} \left(\frac{l}{2} + l_1\right)$

Сокращая массу $m$ и заряд $e$, получаем формулу для смещения:

$s = \frac{U_1 l}{2dU} \left(\frac{l}{2} + l_1\right)$

Выразим из этой формулы искомое напряжение на отклоняющих пластинах $U_1$:

$U_1 = \frac{2dUs}{l \left(\frac{l}{2} + l_1\right)}$

Подставим числовые значения из условия задачи, переведенные в СИ:

$U_1 = \frac{2 \cdot 0,014 \text{ м} \cdot 300 \text{ В} \cdot 0,03 \text{ м}}{0,06 \text{ м} \left(\frac{0,06 \text{ м}}{2} + 0,12 \text{ м}\right)} = \frac{0,252}{0,06 \cdot (0,03 + 0,12)} = \frac{0,252}{0,06 \cdot 0,15} = \frac{0,252}{0,009} = 28 \text{ В}$

Ответ: $U_1 = 28 \text{ В}$.