Номер 958, страница 176 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10 \text{ кг}$

$q = 10 \text{ мкКл} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$r_0 = 1,0 \text{ м}$ (начальное расстояние)

$\mu = 0,10$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (постоянная Кулона)

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_{\text{max}}$ - ?

Решение:

Поскольку заряды тел одинаковы, они будут отталкиваться друг от друга. На каждое тело в горизонтальном направлении действуют две силы: сила кулоновского отталкивания $F_{\text{Кл}}$ и сила трения скольжения $F_{\text{тр}}$.

Сила трения постоянна по модулю и равна $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg$, где $N$ - сила нормальной реакции, равная силе тяжести $mg$, так как плоскость горизонтальная.

Сила кулоновского отталкивания зависит от расстояния $r$ между телами: $F_{\text{Кл}} = k \frac{q^2}{r^2}$.

Когда тела освобождают, сила отталкивания $F_{\text{Кл}}$ больше силы трения $F_{\text{тр}}$, и тела начинают двигаться с ускорением. По мере увеличения расстояния $r$ между телами, сила $F_{\text{Кл}}$ уменьшается. Скорость тел будет максимальной в тот момент, когда их ускорение станет равным нулю. Это произойдет, когда сила отталкивания станет равной силе трения.

Найдем расстояние $r_{\text{max}}$ между телами, при котором их скорость максимальна, из условия $F_{\text{Кл}} = F_{\text{тр}}$:

$k \frac{q^2}{r_{\text{max}}^2} = \mu mg$

Отсюда выразим $r_{\text{max}}$:

$r_{\text{max}} = \sqrt{\frac{k q^2}{\mu mg}} = q \sqrt{\frac{k}{\mu mg}}$

Подставим числовые значения:

$r_{\text{max}} = 10 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9}{0,10 \cdot 0,10 \cdot 10}} = 10^{-5} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9}{0,1}} = 10^{-5} \cdot \sqrt{9 \cdot 10^{10}} = 10^{-5} \cdot 3 \cdot 10^5 = 3 \text{ м}$

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом изменения механической энергии системы из двух тел. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (силы трения).

$\Delta E = A_{\text{тр}}$

$(E_{\text{к, кон}} + E_{\text{п, кон}}) - (E_{\text{к, нач}} + E_{\text{п, нач}}) = A_{\text{тр}}$

Начальное состояние: тела покоятся ($v_{\text{нач}} = 0$), расстояние между ними $r_0 = 1,0 \text{ м}$.

Начальная кинетическая энергия системы: $E_{\text{к, нач}} = 0$.

Начальная потенциальная энергия системы: $E_{\text{п, нач}} = k \frac{q^2}{r_0}$.

Конечное состояние (при достижении $v_{\text{max}}$): скорость каждого тела равна $v_{\text{max}}$, расстояние между ними $r_{\text{max}} = 3 \text{ м}$.

Конечная кинетическая энергия системы: $E_{\text{к, кон}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2} + \frac{m v_{\text{max}}^2}{2} = m v_{\text{max}}^2$.

Конечная потенциальная энергия системы: $E_{\text{п, кон}} = k \frac{q^2}{r_{\text{max}}}$.

Работа силы трения. Каждое тело проходит путь $s = \frac{r_{\text{max}} - r_0}{2}$. Работа силы трения для всей системы: $A_{\text{тр}} = -2 \cdot F_{\text{тр}} \cdot s = -2 \cdot (\mu mg) \cdot \frac{r_{\text{max}} - r_0}{2} = -\mu mg (r_{\text{max}} - r_0)$.

Подставляем все в закон изменения энергии:

$m v_{\text{max}}^2 + k \frac{q^2}{r_{\text{max}}} - k \frac{q^2}{r_0} = -\mu mg (r_{\text{max}} - r_0)$

Выразим $m v_{\text{max}}^2$:

$m v_{\text{max}}^2 = k \frac{q^2}{r_0} - k \frac{q^2}{r_{\text{max}}} - \mu mg (r_{\text{max}} - r_0) = k q^2 \left(\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_{\text{max}}}\right) - \mu mg (r_{\text{max}} - r_0)$

Подставим числовые значения:

$0,10 \cdot v_{\text{max}}^2 = 9 \cdot 10^9 \cdot (10 \cdot 10^{-6})^2 \left(\frac{1}{1,0} - \frac{1}{3}\right) - 0,10 \cdot 0,10 \cdot 10 \cdot (3 - 1,0)$

$0,1 \cdot v_{\text{max}}^2 = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-10} \left(\frac{2}{3}\right) - 0,1 \cdot 2$

$0,1 \cdot v_{\text{max}}^2 = 0,9 \cdot \frac{2}{3} - 0,2$

$0,1 \cdot v_{\text{max}}^2 = 0,6 - 0,2$

$0,1 \cdot v_{\text{max}}^2 = 0,4$

$v_{\text{max}}^2 = \frac{0,4}{0,1} = 4$

$v_{\text{max}} = \sqrt{4} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v_{\text{max}} = 2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.