Номер 951, страница 175 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шарика: $m$
Заряд шарика: $q_1$
Начальная высота: $h$
Угол наклона плоскости: $\alpha$
Неподвижный точечный заряд: $q_2$
Начальная скорость шарика: $v_0 = 0$

Все величины заданы в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Модуль скорости шарика у основания наклонной плоскости: $v$

Решение:

На шарик в процессе движения действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и электростатическая сила Кулона $\vec{F}_k$ со стороны заряда $q_2$. Так как наклонная плоскость гладкая, сила трения отсутствует.

Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ всегда перпендикулярна вектору скорости шарика, поэтому её работа на любом участке пути равна нулю. Сила тяжести и сила Кулона являются консервативными силами. Поскольку работа неконсервативных сил равна нулю, для системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Полная энергия системы $E$ состоит из кинетической энергии $K$, потенциальной энергии шарика в поле тяготения $U_g$ и потенциальной энергии взаимодействия зарядов $U_e$. По закону сохранения энергии, полная энергия в начальном положении (1) равна полной энергии в конечном положении (2).

$E_1 = E_2$

$K_1 + U_{g1} + U_{e1} = K_2 + U_{g2} + U_{e2}$

Определим каждую из компонент энергии для начального и конечного состояний.

Начальное состояние (1): шарик на высоте $h$.
- Шарик начинает скользить с высоты, поэтому его начальная скорость равна нулю. Начальная кинетическая энергия $K_1 = \frac{mv_0^2}{2} = 0$.
- Выберем основание наклонной плоскости в качестве нулевого уровня потенциальной энергии. Тогда начальная потенциальная энергия в поле тяжести $U_{g1} = mgh$.
- Согласно условию, неподвижный заряд $q_2$ находится в вершине прямого угла, образованного высотой $h$ и основанием плоскости. Шарик $q_1$ в начальный момент находится на вершине этой высоты. Таким образом, начальное расстояние между зарядами $r_1 = h$. Начальная электростатическая потенциальная энергия $U_{e1} = \frac{k q_1 q_2}{r_1} = \frac{k q_1 q_2}{h}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – электрическая постоянная.

Конечное состояние (2): шарик у основания наклонной плоскости.
- Скорость шарика равна искомой величине $v$. Конечная кинетическая энергия $K_2 = \frac{mv^2}{2}$.
- Шарик находится на нулевом уровне, поэтому его конечная потенциальная энергия в поле тяжести $U_{g2} = 0$.
- В конечном положении шарик находится у основания наклонной плоскости. Расстояние от него до заряда $q_2$ равно длине основания $b$. Из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $b$ и углом $\alpha$ при основании, имеем: $\tan(\alpha) = \frac{h}{b}$. Отсюда длина основания $b = \frac{h}{\tan(\alpha)}$. Конечное расстояние между зарядами $r_2 = b = \frac{h}{\tan(\alpha)}$. Конечная электростатическая потенциальная энергия $U_{e2} = \frac{k q_1 q_2}{r_2} = \frac{k q_1 q_2 \tan(\alpha)}{h}$.

Теперь подставим все найденные выражения в закон сохранения энергии:

$0 + mgh + \frac{k q_1 q_2}{h} = \frac{mv^2}{2} + 0 + \frac{k q_1 q_2 \tan(\alpha)}{h}$

Выразим из этого уравнения $\frac{mv^2}{2}$:

$\frac{mv^2}{2} = mgh + \frac{k q_1 q_2}{h} - \frac{k q_1 q_2 \tan(\alpha)}{h}$

$\frac{mv^2}{2} = mgh + \frac{k q_1 q_2}{h} (1 - \tan(\alpha))$

Умножим обе части на $\frac{2}{m}$, чтобы найти $v^2$:

$v^2 = 2gh + \frac{2k q_1 q_2}{mh} (1 - \tan(\alpha))$

Извлекая квадратный корень, получаем окончательное выражение для модуля скорости:

$v = \sqrt{2gh + \frac{2k q_1 q_2}{mh} (1 - \tan(\alpha))}$

Ответ: $v = \sqrt{2gh + \frac{2k q_1 q_2}{mh} (1 - \tan(\alpha))}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.