Номер 945, страница 174 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряд каждого шарика: $q_1 = q_2 = q_3 = q$

Расстояние между соседними шариками: $a$

Среда: вакуум (электрическая постоянная $\varepsilon_0$)

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальную кинетическую энергию каждого из крайних шариков, $W_k$.

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения энергии. Система состоит из трех шариков, которые в начальный момент покоятся. После перерезания нитей система остается замкнутой, и на шарики действуют только консервативные кулоновские силы. Следовательно, полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергий) сохраняется.

1. Начальное состояние системы (до перерезания нитей).

Шарики покоятся, поэтому их начальная кинетическая энергия $K_{нач} = 0$.

Начальная потенциальная энергия системы $U_{нач}$ равна сумме энергий попарного взаимодействия всех зарядов. Обозначим шарики слева направо как 1, 2 и 3. Расстояние между шариками 1 и 2 равно $a$, между 2 и 3 равно $a$, а между 1 и 3 равно $2a$.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов $q_a$ и $q_b$ на расстоянии $r$ определяется формулой $U = k \frac{q_a q_b}{r}$.

$U_{нач} = U_{12} + U_{23} + U_{13} = k \frac{q \cdot q}{a} + k \frac{q \cdot q}{a} + k \frac{q \cdot q}{2a} = 2k \frac{q^2}{a} + \frac{1}{2}k \frac{q^2}{a} = \frac{5}{2} k \frac{q^2}{a}$.

Полная начальная энергия системы: $E_{нач} = K_{нач} + U_{нач} = 0 + \frac{5}{2} k \frac{q^2}{a} = \frac{5}{2} k \frac{q^2}{a}$.

2. Движение шариков и конечное состояние.

После перерезания нитей шарики начнут отталкиваться. В силу симметрии задачи, центральный шарик (№2) будет оставаться неподвижным. Силы, действующие на него со стороны шариков 1 и 3, в любой момент времени будут равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, скорость и кинетическая энергия центрального шарика всегда будут равны нулю ($v_2 = 0, W_{k,2} = 0$).

Крайние шарики (1 и 3) будут двигаться симметрично в противоположные стороны. Их скорости будут равны по модулю, а значит, и кинетические энергии будут одинаковы в любой момент времени ($W_{k,1} = W_{k,3} = W_k$).

Максимальную кинетическую энергию шарики приобретут тогда, когда они разлетятся на бесконечно большое расстояние друг от друга. В этом конечном состоянии их взаимная потенциальная энергия будет стремиться к нулю ($U_{кон} = 0$).

Полная кинетическая энергия системы в конечном состоянии будет равна сумме кинетических энергий шариков:

$K_{кон} = W_{k,1} + W_{k,2} + W_{k,3} = W_k + 0 + W_k = 2W_k$.

Полная конечная энергия системы: $E_{кон} = K_{кон} + U_{кон} = 2W_k + 0 = 2W_k$.

3. Применение закона сохранения энергии.

Приравниваем начальную и конечную энергии системы: $E_{нач} = E_{кон}$.

$\frac{5}{2} k \frac{q^2}{a} = 2W_k$.

Отсюда выражаем максимальную кинетическую энергию каждого из крайних шариков:

$W_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} k \frac{q^2}{a} = \frac{5}{4} k \frac{q^2}{a}$.

Подставляя значение $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, можно записать ответ в другой форме:

$W_k = \frac{5}{4} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a} = \frac{5q^2}{16\pi\varepsilon_0 a}$.

Ответ: $W_k = \frac{5}{4} k \frac{q^2}{a}$.