Номер 941, страница 173 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус колец: $r$

Расстояние между центрами колец: $d$

Заряд первого кольца: $q_1$

Заряд второго кольца: $q_2$

Перемещаемый заряд: $q$

Найти:

Работу электростатического поля $A$.

Решение:

Работа $A$, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда $q$ из точки 1 в точку 2, равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов между начальной и конечной точками:

$A = q(\phi_1 - \phi_2)$

где $\phi_1$ — потенциал в центре первого кольца (начальная точка), а $\phi_2$ — потенциал в центре второго кольца (конечная точка).

Электростатическое поле создается двумя кольцами, поэтому по принципу суперпозиции потенциал в любой точке пространства равен сумме потенциалов, создаваемых каждым кольцом в отдельности.

Потенциал $\phi$, создаваемый кольцом с зарядом $Q$ и радиусом $r$ в точке на его оси на расстоянии $x$ от центра, определяется формулой:

$\phi = \frac{kQ}{\sqrt{r^2 + x^2}}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — электростатическая постоянная.

1. Найдем потенциал $\phi_1$ в центре первого кольца (обозначим его $O_1$).

В этой точке $x=0$ для первого кольца и $x=d$ для второго кольца.

Потенциал, создаваемый первым кольцом (с зарядом $q_1$) в своем центре:

$\phi_{1,O_1} = \frac{kq_1}{\sqrt{r^2 + 0^2}} = \frac{kq_1}{r}$

Потенциал, создаваемый вторым кольцом (с зарядом $q_2$) в центре первого кольца:

$\phi_{2,O_1} = \frac{kq_2}{\sqrt{r^2 + d^2}}$

Суммарный потенциал в центре первого кольца:

$\phi_1 = \phi_{1,O_1} + \phi_{2,O_1} = \frac{kq_1}{r} + \frac{kq_2}{\sqrt{r^2 + d^2}}$

2. Найдем потенциал $\phi_2$ в центре второго кольца (обозначим его $O_2$).

Для этой точки расстояние до центра первого кольца $x=d$, а до центра второго кольца $x=0$.

Потенциал, создаваемый первым кольцом (с зарядом $q_1$) в центре второго кольца:

$\phi_{1,O_2} = \frac{kq_1}{\sqrt{r^2 + d^2}}$

Потенциал, создаваемый вторым кольцом (с зарядом $q_2$) в своем центре:

$\phi_{2,O_2} = \frac{kq_2}{\sqrt{r^2 + 0^2}} = \frac{kq_2}{r}$

Суммарный потенциал в центре второго кольца:

$\phi_2 = \phi_{1,O_2} + \phi_{2,O_2} = \frac{kq_1}{\sqrt{r^2 + d^2}} + \frac{kq_2}{r}$

3. Вычислим работу $A$.

$A = q(\phi_1 - \phi_2) = q \left( \left( \frac{kq_1}{r} + \frac{kq_2}{\sqrt{r^2 + d^2}} \right) - \left( \frac{kq_1}{\sqrt{r^2 + d^2}} + \frac{kq_2}{r} \right) \right)$

Сгруппируем слагаемые:

$A = qk \left( \frac{q_1}{r} - \frac{q_2}{r} - \frac{q_1}{\sqrt{r^2 + d^2}} + \frac{q_2}{\sqrt{r^2 + d^2}} \right)$

$A = qk \left( \frac{q_1 - q_2}{r} - \frac{q_1 - q_2}{\sqrt{r^2 + d^2}} \right)$

Вынесем общий множитель $(q_1 - q_2)$ за скобки:

$A = qk(q_1 - q_2) \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + d^2}} \right)$

Подставим значение $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$:

$A = \frac{q(q_1 - q_2)}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + d^2}} \right)$

Ответ: $A = \frac{q(q_1 - q_2)}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + d^2}} \right)$.