Номер 940, страница 173 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_1 = q$
$q_2 = -2q$
$q_3 = 3q$
$r_{12} = r_{13} = r_{23} = a$

Найти:

$W_п$

Решение:

Потенциальная энергия системы точечных зарядов равна алгебраической сумме потенциальных энергий взаимодействия каждой пары зарядов в этой системе. Для системы из трех зарядов общая потенциальная энергия $W_п$ складывается из энергий взаимодействия трех пар зарядов:

$W_п = W_{12} + W_{13} + W_{23}$

где $W_{ij} = k \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ — это потенциальная энергия взаимодействия пары зарядов $q_i$ и $q_j$, находящихся на расстоянии $r_{ij}$ друг от друга. В системе СИ коэффициент $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

По условию, заряды находятся в вершинах правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$. Это означает, что расстояние между любыми двумя зарядами одинаково и равно $a$:

$r_{12} = r_{13} = r_{23} = a$

Вычислим потенциальную энергию для каждой пары зарядов:

1. Энергия взаимодействия между зарядами $q_1 = q$ и $q_2 = -2q$:

$W_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r_{12}} = k \frac{q \cdot (-2q)}{a} = -2k\frac{q^2}{a}$

2. Энергия взаимодействия между зарядами $q_1 = q$ и $q_3 = 3q$:

$W_{13} = k \frac{q_1 q_3}{r_{13}} = k \frac{q \cdot (3q)}{a} = 3k\frac{q^2}{a}$

3. Энергия взаимодействия между зарядами $q_2 = -2q$ и $q_3 = 3q$:

$W_{23} = k \frac{q_2 q_3}{r_{23}} = k \frac{(-2q) \cdot (3q)}{a} = -6k\frac{q^2}{a}$

Теперь найдем полную потенциальную энергию системы, сложив энергии всех пар:

$W_п = W_{12} + W_{13} + W_{23} = -2k\frac{q^2}{a} + 3k\frac{q^2}{a} - 6k\frac{q^2}{a}$

Вынесем общий множитель $k\frac{q^2}{a}$ за скобки:

$W_п = k\frac{q^2}{a}(-2 + 3 - 6) = k\frac{q^2}{a}(-5)$

$W_п = -5k\frac{q^2}{a}$

Если выразить через диэлектрическую постоянную $\epsilon_0$:

$W_п = -\frac{5q^2}{4\pi\epsilon_0 a}$

Ответ: $W_п = -5k\frac{q^2}{a} = -\frac{5q^2}{4\pi\epsilon_0 a}$.