Номер 942, страница 173 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус тонкого кольца: $r$

Заряд кольца (равномерно распределен): $q$

Масса шарика: $m$

Заряд шарика: $q_1 < 0$

Найти:

Минимальное значение модуля скорости $v_{min}$, которое необходимо сообщить шарику.

Решение:

Чтобы шарик мог удалиться от кольца на бесконечность, его начальная кинетическая энергия должна быть достаточной для преодоления работы сил электростатического притяжения. Поскольку электростатическое поле является потенциальным (консервативным), для решения задачи можно применить закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы, состоящей из шарика в поле кольца, сохраняется. Она равна сумме кинетической энергии шарика $K$ и его потенциальной энергии $U$ в поле кольца: $E = K + U$.

Запишем закон сохранения энергии для начального и конечного состояний системы:

$K_{нач} + U_{нач} = K_{кон} + U_{кон}$

1. Начальное состояние: шарик находится в центре кольца, и ему сообщают искомую минимальную скорость $v_{min}$.

Начальная кинетическая энергия: $K_{нач} = \frac{m v_{min}^2}{2}$.

Начальная потенциальная энергия: $U_{нач} = q_1 \phi_0$, где $\phi_0$ — это электрический потенциал, создаваемый кольцом в его центре.

2. Конечное состояние: шарик удалился на бесконечность. Условие минимальной начальной скорости означает, что на бесконечности скорость шарика обращается в ноль.

Конечная кинетическая энергия: $K_{кон} = 0$.

Потенциал электрического поля на бесконечном удалении по определению принимается равным нулю ($\phi_{\infty} = 0$), следовательно, конечная потенциальная энергия также равна нулю: $U_{кон} = q_1 \phi_{\infty} = 0$.

Найдем потенциал $\phi_0$ в центре кольца. Каждая точка кольца с элементарным зарядом $dq$ находится на одинаковом расстоянии $r$ от центра. Потенциал, создаваемый этим элементом, равен $d\phi = \frac{k dq}{r}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — постоянная в законе Кулона. Чтобы найти полный потенциал, нужно просуммировать (проинтегрировать) вклады от всех частей кольца:

$\phi_0 = \int_{\text{кольцо}} d\phi = \int \frac{k dq}{r} = \frac{k}{r} \int dq = \frac{k q}{r}$

Таким образом, начальная потенциальная энергия шарика равна:

$U_{нач} = q_1 \phi_0 = \frac{k q q_1}{r}$

Теперь подставим все найденные значения в уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{m v_{min}^2}{2} + \frac{k q q_1}{r} = 0 + 0$

Выразим отсюда $v_{min}$:

$\frac{m v_{min}^2}{2} = - \frac{k q q_1}{r}$

$v_{min}^2 = - \frac{2 k q q_1}{m r}$

$v_{min} = \sqrt{- \frac{2 k q q_1}{m r}}$

По условию задачи, заряд шарика $q_1 < 0$. Чтобы шарик притягивался к кольцу (иначе для удаления на бесконечность не потребовалось бы преодолевать силу), заряд кольца $q$ должен быть положительным, $q > 0$. Следовательно, произведение $q q_1 < 0$, и выражение под корнем является положительной величиной, что обеспечивает действительное значение скорости.

Заменив константу $k$ на ее выражение через электрическую постоянную $\epsilon_0$, получим окончательный вид формулы:

$v_{min} = \sqrt{- \frac{2 q q_1}{4\pi\epsilon_0 m r}} = \sqrt{- \frac{q q_1}{2\pi\epsilon_0 m r}}$

Ответ: Минимальное значение модуля скорости, которое необходимо сообщить шарику, чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность, равно $v_{min} = \sqrt{- \frac{q q_1}{2\pi\epsilon_0 m r}}$.