Номер 938, страница 173 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряд шарика $q = 1,4 \text{ мкКл} = 1,4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Увеличение длины нити $\Delta l = 9,0 \text{ мм} = 9,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Расстояние до плоскости $r = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Электрическая постоянная $\epsilon_0$, коэффициент в законе Кулона $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$

Найти:

Жесткость нити $k$

Решение:

Для определения силы, действующей на заряженный шарик со стороны проводящей плоскости, используем метод электрических изображений. Согласно этому методу, сила притяжения точечного заряда $q$ к бесконечной проводящей плоскости равна силе притяжения этого заряда к мнимому (изображению) заряду $-q$, расположенному симметрично относительно плоскости.

Расстояние между реальным зарядом $q$ и его изображением $-q$ составляет $d = 2r$.

Сила электростатического притяжения $F_э$, действующая на шарик, определяется по закону Кулона:

$F_э = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q \cdot (-q)|}{(2r)^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{4r^2}$

Эта сила притяжения направлена вертикально вниз и вызывает растяжение упругой нити. По закону Гука, в нити возникает сила упругости $F_{упр}$, направленная вверх и равная по модулю:

$F_{упр} = k \Delta l$

где $k$ – искомая жесткость нити, а $\Delta l$ – её удлинение.

Поскольку шарик находится в равновесии, сила упругости уравновешивает электростатическую силу притяжения (силу тяжести мы не учитываем, так как удлинение $\Delta l$ вызвано именно появлением заряда):

$F_{упр} = F_э$

$k \Delta l = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{4r^2}$

Выразим отсюда жесткость нити $k$:

$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{4r^2 \Delta l}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем расчеты:

$k = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1,4 \cdot 10^{-6})^2}{4 \cdot (0,1)^2 \cdot 9,0 \cdot 10^{-3}} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1,96 \cdot 10^{-12}}{4 \cdot 0,01 \cdot 9,0 \cdot 10^{-3}} = \frac{17,64 \cdot 10^{-3}}{36 \cdot 10^{-5}} = 0,49 \cdot 10^2 = 49 \text{ Н/м}$

Ответ: жесткость нити равна 49 Н/м.