Номер 934, страница 172 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U = 0,40$ кВ

$q = -e = -1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл (заряд электрона)

$m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг (масса электрона)

$v = 0$ м/с (конечная скорость)

В системе СИ:

$U = 0,40 \cdot 10^3$ В = $400$ В

Найти:

$v_0$ — начальная скорость электрона.

Решение:

Поскольку на электрон в вакууме действует только сила со стороны электростатического поля, мы можем применить теорему об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии частицы равно работе, совершенной всеми действующими на нее силами. В данном случае — работе электростатического поля.

$\Delta K = A$

Изменение кинетической энергии электрона равно:

$\Delta K = K_{кон} - K_{нач} = \frac{m_e v^2}{2} - \frac{m_e v_0^2}{2}$

По условию задачи, электрон полностью теряет свою скорость, следовательно, его конечная скорость $v=0$.

$\Delta K = 0 - \frac{m_e v_0^2}{2} = -\frac{m_e v_0^2}{2}$

Работа $A$ электростатического поля при перемещении заряда $q$ из начальной точки с потенциалом $\phi_{нач}$ в конечную точку с потенциалом $\phi_{кон}$ вычисляется по формуле:

$A = q(\phi_{нач} - \phi_{кон})$

Заряд электрона отрицателен: $q = -e$. Электрон тормозится, двигаясь вдоль линии напряженности, это значит, что сила поля направлена против его движения. Сила, действующая на отрицательный заряд, направлена против вектора напряженности $\vec{E}$, поэтому для торможения электрон должен двигаться в том же направлении, что и вектор напряженности $\vec{E}$. Потенциал электростатического поля уменьшается в направлении вектора напряженности, следовательно, $\phi_{нач} > \phi_{кон}$. Таким образом, разность потенциалов $U = \phi_{нач} - \phi_{кон}$ является положительной величиной, и это та самая тормозящая разность потенциалов, которая дана в условии.

Подставив заряд электрона, получим выражение для работы:

$A = -eU$

Теперь приравняем изменение кинетической энергии и работу поля:

$-\frac{m_e v_0^2}{2} = -eU$

Умножим обе части на $-1$:

$\frac{m_e v_0^2}{2} = eU$

Из этого уравнения выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = \frac{2eU}{m_e}$

$v_0 = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Подставим числовые значения в системе СИ, используя табличные данные для заряда и массы электрона:

$v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 400 \text{ В}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1280 \cdot 10^{-19}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с}$

$v_0 = \sqrt{\frac{1280}{9,1} \cdot 10^{(-19 - (-31))}} \text{ м/с} = \sqrt{140,66 \cdot 10^{12}} \text{ м/с}$

$v_0 \approx 11,86 \cdot 10^6 \text{ м/с} = 1,186 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Значение разности потенциалов дано с двумя значащими цифрами ($0,40$), поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

$v_0 \approx 1,2 \cdot 10^7$ м/с.

Ответ: $v_0 \approx 1,2 \cdot 10^7$ м/с.