Номер 929, страница 171 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = q_0$

$E = 8.5 \, \frac{\text{В}}{\text{м}}$

График зависимости потенциала $\phi$ от расстояния $r$ для заряда $q_0$.

Из графика: при $r = 2.0 \, \text{см}$ потенциал $\phi = 40 \, \text{В}$.

Перевод в СИ:

$r = 2.0 \, \text{см} = 0.02 \, \text{м}$

Найти:

$a$ — длина стороны квадрата.

Решение:

1. Определим величину заряда $q_0$ (а точнее, произведение $k|q_0|$, где $k$ — коэффициент в законе Кулона) из графика. Потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой:

$\phi = \frac{k|q_0|}{r}$

Из этой формулы выразим $k|q_0|$:

$k|q_0| = \phi \cdot r$

Используя данные из графика (например, точку $r = 0.02 \, \text{м}$, где $\phi = 40 \, \text{В}$), получаем:

$k|q_0| = 40 \, \text{В} \cdot 0.02 \, \text{м} = 0.8 \, \text{В} \cdot \text{м}$

2. Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Пусть три заряда $q_1, q_2, q_3$ находятся в трех вершинах. Найдем напряженность поля в четвертой, свободной вершине. Результирующая напряженность $\vec{E}$ является векторной суммой напряженностей $\vec{E}_1, \vec{E}_2, \vec{E}_3$, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$

Два заряда (пусть это $q_1$ и $q_3$) находятся в соседних вершинах на расстоянии $a$ от свободной вершины. Третий заряд ($q_2$) находится в противоположной вершине на расстоянии диагонали квадрата, равном $a\sqrt{2}$.

3. Напряженности полей от зарядов $q_1$ и $q_3$ равны по модулю и перпендикулярны друг другу:

$E_1 = E_3 = \frac{k|q_0|}{a^2}$

Их векторная сумма $\vec{E}_{13} = \vec{E}_1 + \vec{E}_3$ направлена по диагонали квадрата. Модуль этой суммы найдем по теореме Пифагора:

$E_{13} = \sqrt{E_1^2 + E_3^2} = \sqrt{2 E_1^2} = E_1\sqrt{2} = \frac{k|q_0|\sqrt{2}}{a^2}$

4. Напряженность поля от заряда $q_2$ в противоположной вершине имеет модуль:

$E_2 = \frac{k|q_0|}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k|q_0|}{2a^2}$

Вектор $\vec{E}_2$ также направлен вдоль диагонали квадрата. Так как все заряды одноименные, векторы $\vec{E}_{13}$ и $\vec{E}_2$ сонаправлены.

5. Модуль результирующей напряженности $E$ равен сумме модулей $E_{13}$ и $E_2$:

$E = E_{13} + E_2 = \frac{k|q_0|\sqrt{2}}{a^2} + \frac{k|q_0|}{2a^2} = \frac{k|q_0|}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$

6. Выразим из полученной формулы сторону квадрата $a$:

$a^2 = \frac{k|q_0|}{E} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$

$a = \sqrt{\frac{k|q_0|}{E} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)}$

7. Подставим числовые значения:

$a = \sqrt{\frac{0.8 \, \text{В} \cdot \text{м}}{8.5 \, \text{В/м}} \left( \sqrt{2} + 0.5 \right)} \approx \sqrt{\frac{0.8}{8.5} \left( 1.414 + 0.5 \right)}$

$a \approx \sqrt{0.0941 \cdot 1.914} \approx \sqrt{0.1801} \approx 0.424 \, \text{м}$

Переведем в сантиметры: $a = 42.4 \, \text{см}$. Округлим до двух значащих цифр, как в условии ($E=8.5$).

Ответ: $a \approx 42 \, \text{см}$.