Номер 925, страница 170 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Электростатическое поле создано двумя равными одноименными точечными зарядами $q_1 = q_2 = q$, расположенными в вершинах равностороннего треугольника.

Модуль напряженности поля в третьей вершине $E = 300$ В/м.

Потенциал поля в третьей вершине $\phi = 60,0$ В.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Длину стороны треугольника $a$.

Решение:

Пусть два равных заряда $q$ расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$. Мы ищем параметры поля в третьей вершине, которая находится на одинаковом расстоянии $a$ от каждого из зарядов.

Потенциал электростатического поля в точке является скалярной величиной. Согласно принципу суперпозиции полей, потенциал в третьей вершине равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом:

$\phi = \phi_1 + \phi_2$

Поскольку заряды и расстояния до них одинаковы, то $\phi_1 = \phi_2 = k \frac{q}{a}$, где $k$ – электростатическая постоянная.

Таким образом, суммарный потенциал равен:

$\phi = 2k \frac{q}{a} \quad (1)$

Напряженность электростатического поля является векторной величиной. Модули напряженности, создаваемой каждым из зарядов в третьей вершине, равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{|q|}{a^2}$

Векторы напряженности $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ направлены вдоль сторон треугольника (от зарядов, так как они одноименные и потенциал положителен, значит и заряды положительны). Угол между векторами $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ равен углу при вершине равностороннего треугольника, то есть $60^\circ$.

Результирующий вектор напряженности $\vec{E}$ является векторной суммой $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$. Его модуль можно найти по теореме косинусов для векторов:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2 \cos(60^\circ)}$

Учитывая, что $E_1 = E_2$ и $\cos(60^\circ) = 0,5$, получаем:

$E = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2 \cdot 0,5} = \sqrt{2E_1^2 + E_1^2} = \sqrt{3E_1^2} = E_1\sqrt{3}$

Подставим выражение для $E_1$:

$E = \sqrt{3} k \frac{|q|}{a^2} \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить неизвестный заряд $q$ и постоянную $k$ (поскольку $\phi > 0$, то $q > 0$ и $|q|=q$):

$\frac{E}{\phi} = \frac{\sqrt{3} k \frac{q}{a^2}}{2k \frac{q}{a}} = \frac{\sqrt{3} k q a}{2k q a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2a}$

Теперь из полученного соотношения $\frac{E}{\phi} = \frac{\sqrt{3}}{2a}$ выразим искомую сторону $a$:

$a = \frac{\sqrt{3} \phi}{2E}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$a = \frac{\sqrt{3} \cdot 60,0 \text{ В}}{2 \cdot 300 \frac{В}{м}} = \frac{60\sqrt{3}}{600} \text{ м} = \frac{\sqrt{3}}{10} \text{ м}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$a \approx \frac{1,732}{10} \text{ м} = 0,1732$ м

Округляя до трех значащих цифр, получаем $a \approx 0,173$ м.

Ответ: $a = \frac{\sqrt{3}}{10}$ м $\approx 0,173$ м.