Номер 919, страница 169 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус первого шара, $R_1 = 50$ мм
Потенциал первого шара, $\phi = 0,15$ кВ
Расстояние от поверхности шара, $r = 10$ см
Радиус второго шара, $R_2 = 10$ см

Перевод в систему СИ:
$R_1 = 50 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$
$\phi = 0,15 \cdot 10^3 \text{ В} = 150 \text{ В}$
$r = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$
$R_2 = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$E_1$ — модуль напряженности поля до соединения шаров.
$E_2$ — модуль напряженности поля после соединения шаров.

Решение:

1. Определение модуля напряженности $E_1$

Потенциал на поверхности металлического шара радиусом $R_1$ связан с его зарядом $q_1$ соотношением: $\phi = k \frac{q_1}{R_1}$, где $k$ – электростатическая постоянная ($k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²).

Электрическое поле заряженного шара на расстоянии, превышающем его радиус, эквивалентно полю точечного заряда, расположенного в центре шара. Модуль напряженности электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии $r_{total}$ от центра шара, определяется формулой: $E = k \frac{|q_1|}{r_{total}^2}$.

Расстояние от центра первого шара до искомой точки равно сумме его радиуса и расстояния от поверхности: $r_{total} = R_1 + r$.

Чтобы не вычислять заряд $q_1$, выразим его из формулы для потенциала $q_1 = \frac{\phi R_1}{k}$ и подставим в формулу для напряженности поля: $E_1 = k \frac{q_1}{(R_1+r)^2} = k \frac{1}{(R_1+r)^2} \cdot \frac{\phi R_1}{k} = \frac{\phi R_1}{(R_1+r)^2}$.

Подставим числовые значения в системе СИ: $E_1 = \frac{150 \text{ В} \cdot 0,05 \text{ м}}{(0,05 \text{ м} + 0,1 \text{ м})^2} = \frac{7,5 \text{ В} \cdot \text{м}}{(0,15 \text{ м})^2} = \frac{7,5}{0,0225} \frac{\text{В}}{\text{м}} \approx 333,3 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.

Ответ: Модуль напряженности электростатического поля до соединения шаров $E_1 \approx 333$ В/м.

2. Определение модуля напряженности $E_2$

При соединении двух проводящих шаров тонкой проволокой их потенциалы выравниваются, а общий заряд $q_1$ (так как второй шар был не заряжен) перераспределяется между ними. Пусть новые заряды на шарах будут $q'_1$ и $q'_2$.

Согласно закону сохранения заряда: $q'_1 + q'_2 = q_1$.

Из условия равенства потенциалов после соединения: $\phi' = k \frac{q'_1}{R_1} = k \frac{q'_2}{R_2}$. Отсюда следует, что $\frac{q'_1}{R_1} = \frac{q'_2}{R_2}$, или $q'_2 = q'_1 \frac{R_2}{R_1}$.

Подставим выражение для $q'_2$ в закон сохранения заряда: $q'_1 + q'_1 \frac{R_2}{R_1} = q_1 \implies q'_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) = q_1 \implies q'_1 \left(\frac{R_1+R_2}{R_1}\right) = q_1$.

Отсюда находим новый заряд первого шара после того, как второй шар убрали: $q'_1 = q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2}$.

Напряженность поля $E_2$ в той же точке создается теперь зарядом $q'_1$: $E_2 = k \frac{|q'_1|}{(R_1+r)^2} = \frac{k}{(R_1+r)^2} \cdot \left(q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2}\right) = \left(k \frac{q_1}{(R_1+r)^2}\right) \frac{R_1}{R_1 + R_2}$.

Так как выражение в скобках равно ранее найденной напряженности $E_1$, получаем простую зависимость: $E_2 = E_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2}$.

Подставим числовые значения: $E_2 \approx 333,3 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot \frac{0,05 \text{ м}}{0,05 \text{ м} + 0,1 \text{ м}} = 333,3 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot \frac{0,05}{0,15} = 333,3 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot \frac{1}{3} \approx 111,1 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.

Ответ: Модуль напряженности поля в той же точке после соединения шаров $E_2 \approx 111$ В/м.