Номер 924, страница 170 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус металлического шара: $R_1$

Радиус концентрической сферической проводящей оболочки: $R_2$

Найти:

Во сколько раз изменится потенциал шара, то есть найти отношение начального потенциала $\varphi_1$ к конечному $\varphi'_1$.

Решение:

Рассмотрим два случая: до и после заземления внешней оболочки. Пусть заряд внутреннего шара равен $q$.

1. До заземления оболочки

Заряженный шар с зарядом $q$ создает электрическое поле. Под действием этого поля на изначально нейтральной проводящей оболочке происходит электростатическая индукция: на ее внутренней поверхности (обращенной к шару) индуцируется заряд $-q$, а на внешней — заряд $+q$.

Потенциал $\varphi_1$ на поверхности внутреннего шара создается тремя зарядами: зарядом $q$ самого шара, зарядом $-q$ на внутренней поверхности оболочки и зарядом $+q$ на внешней. Потенциал в центре сферы, создаваемый заряженной сферической поверхностью радиусом $R$ с зарядом $Q$, равен $k\frac{Q}{R}$, и он одинаков для всех точек внутри этой поверхности. Таким образом, потенциал на поверхности внутреннего шара можно найти, суммируя потенциалы от всех трех заряженных поверхностей:

$\varphi_1 = k\frac{q}{R_1} + k\frac{-q}{R_2} + k\frac{+q}{R_2}$

где $k$ – электростатическая постоянная. Два последних слагаемых взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$\varphi_1 = k\frac{q}{R_1}$

2. После заземления оболочки

При заземлении потенциал проводящей оболочки становится равным нулю ($\varphi'_2 = 0$). Заряд $q$ на внутреннем шаре остается неизменным, так как шар изолирован. Этот заряд по-прежнему индуцирует на внутренней поверхности оболочки заряд $-q$. Однако, поскольку оболочка теперь соединена с землей, избыточный положительный заряд $+q$ с ее внешней поверхности стечет в землю. В результате полный заряд оболочки станет равным $-q$.

Найдем новый потенциал шара $\varphi'_1$. Он создается полем самого шара (заряд $q$) и полем оболочки (заряд $-q$):

$\varphi'_1 = k\frac{q}{R_1} + k\frac{-q}{R_2} = kq\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

3. Отношение потенциалов

Чтобы найти, во сколько раз изменился потенциал шара, найдем отношение начального потенциала $\varphi_1$ к конечному $\varphi'_1$. Поскольку $R_2 > R_1$, то $\varphi'_1 < \varphi_1$, то есть потенциал уменьшится.

$\frac{\varphi_1}{\varphi'_1} = \frac{k\frac{q}{R_1}}{kq\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)} = \frac{\frac{1}{R_1}}{\frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}} = \frac{1}{R_1} \cdot \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} = \frac{R_2}{R_2 - R_1}$

Ответ: Потенциал шара уменьшится в $\frac{R_2}{R_2 - R_1}$ раз.