Номер 926, страница 170 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_1 = q_2 = q > 0$

$a = 20\sqrt{2} \text{ см}$

$\phi = 80,0 \text{ В}$

Перевод в систему СИ:
$a = 20\sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ м} = 0,2\sqrt{2} \text{ м}$

Найти:

$E - ?$

Решение:

Пусть два равных положительных точечных заряда $q$ расположены в вершинах острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника. Обозначим эти вершины как A и B. Точка, в которой нужно найти напряженность поля, — это вершина прямого угла, обозначим её C.
Расстояние от каждого заряда до точки C равно длине катета треугольника, то есть $r_1 = r_2 = a$.

Потенциал электростатического поля в точке C создается обоими зарядами. Согласно принципу суперпозиции, он равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом:
$\phi = \phi_1 + \phi_2$

Потенциал, создаваемый точечным зарядом, определяется формулой $\phi = k \frac{q}{r}$, где $k$ — электростатическая постоянная.
Таким образом, суммарный потенциал в точке C равен:
$\phi = k \frac{q}{a} + k \frac{q}{a} = 2k \frac{q}{a}$

Напряженность электростатического поля в точке C является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом:
$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Модуль напряженности поля от одного точечного заряда равен $E = k \frac{|q|}{r^2}$.
Так как заряды положительны и равны, модули напряженностей от каждого заряда в точке C будут одинаковы:
$E_1 = k \frac{q}{a^2}$
$E_2 = k \frac{q}{a^2}$
Следовательно, $E_1 = E_2$.

Вектор напряженности поля $\vec{E}_1$ направлен от заряда в вершине A к точке C вдоль одного катета. Вектор $\vec{E}_2$ направлен от заряда в вершине B к точке C вдоль другого катета. Поскольку катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ также перпендикулярны друг другу.

Модуль результирующего вектора напряженности $\vec{E}$ можно найти по теореме Пифагора для векторов:
$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2} = \sqrt{E_1^2 + E_1^2} = \sqrt{2E_1^2} = E_1\sqrt{2}$

Чтобы найти $E_1$, воспользуемся известным значением потенциала $\phi$. Из формулы $\phi = 2k \frac{q}{a}$ выразим $k \frac{q}{a}$:
$k \frac{q}{a} = \frac{\phi}{2}$

Теперь выразим $E_1$ через это соотношение:
$E_1 = k \frac{q}{a^2} = \frac{1}{a} \left( k \frac{q}{a} \right) = \frac{1}{a} \cdot \frac{\phi}{2} = \frac{\phi}{2a}$

Подставим полученное выражение для $E_1$ в формулу для результирующей напряженности $E$:
$E = E_1\sqrt{2} = \frac{\phi}{2a} \cdot \sqrt{2} = \frac{\phi\sqrt{2}}{2a}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения в систему СИ:
$E = \frac{80,0 \text{ В} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 0,2\sqrt{2} \text{ м}} = \frac{80,0}{2 \cdot 0,2} \frac{\text{В}}{\text{м}} = \frac{80,0}{0,4} \frac{\text{В}}{\text{м}} = 200 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: $E = 200 \text{ В/м}$.