Номер 927, страница 170 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряды в вершинах 1, 2, 3: $q_1 = +q, q_2 = -q, q_3 = +q$

Модуль напряженности поля в вершине 4: $E = 400 \text{ В/м}$

Потенциал поля в вершине 4: $\phi = 30,0 \text{ В}$

Найти:

Длину стороны квадрата $a$.

Решение:

Обозначим вершины квадрата цифрами от 1 до 4, как на рисунке. Пусть сторона квадрата равна $a$. Мы ищем значение $a$.

Расстояния от зарядов, расположенных в вершинах 1, 2 и 3, до вершины 4 равны:

$r_{14} = a$ (расстояние от вершины 1 до 4)

$r_{34} = a$ (расстояние от вершины 3 до 4)

$r_{24} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ (расстояние от вершины 2 до 4, диагональ квадрата)

1. Найдем потенциал $\phi$ в вершине 4. Потенциал электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции):

$\phi = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 = k\frac{q_1}{r_{14}} + k\frac{q_2}{r_{24}} + k\frac{q_3}{r_{34}}$

где $k$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Подставим значения зарядов и расстояний:

$\phi = k\frac{+q}{a} + k\frac{-q}{a\sqrt{2}} + k\frac{+q}{a} = 2k\frac{q}{a} - k\frac{q}{a\sqrt{2}}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\phi = k\frac{q}{a} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = k\frac{q}{a} \left(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

По условию $\phi = 30,0 \text{ В}$, следовательно, мы имеем первое уравнение:

$30,0 = k\frac{q}{a} \left(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ (1)

2. Найдем напряженность электростатического поля $E$ в вершине 4. Напряженность - векторная величина, и результирующий вектор $\vec{E}$ равен векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} + \vec{E_3}$

Вектор $\vec{E_1}$ (от заряда $+q$ в вершине 1) направлен от вершины 1 к 4. Его модуль $E_1 = k\frac{q}{a^2}$.

Вектор $\vec{E_3}$ (от заряда $+q$ в вершине 3) направлен от вершины 3 к 4. Его модуль $E_3 = k\frac{q}{a^2}$.

Вектор $\vec{E_2}$ (от заряда $-q$ в вершине 2) направлен от вершины 4 к 2. Его модуль $E_2 = k\frac{q}{(a\sqrt{2})^2} = k\frac{q}{2a^2}$.

Векторы $\vec{E_1}$ и $\vec{E_3}$ перпендикулярны друг другу. Их векторная сумма $\vec{E}_{13} = \vec{E_1} + \vec{E_3}$ имеет модуль $E_{13} = \sqrt{E_1^2 + E_3^2} = \sqrt{\left(k\frac{q}{a^2}\right)^2 + \left(k\frac{q}{a^2}\right)^2} = k\frac{q}{a^2}\sqrt{2}$. Вектор $\vec{E}_{13}$ направлен по диагонали от вершины 2 к 4.

Вектор $\vec{E_2}$ направлен в противоположную сторону по той же диагонали (от 4 к 2). Следовательно, результирующий вектор $\vec{E}$ будет направлен вдоль этой же диагонали, а его модуль будет равен разности модулей $E_{13}$ и $E_2$:

$E = |E_{13} - E_2| = \left|k\frac{q\sqrt{2}}{a^2} - k\frac{q}{2a^2}\right| = k\frac{q}{a^2}\left(\sqrt{2} - \frac{1}{2}\right)$

По условию $E = 400 \text{ В/м}$, следовательно, мы имеем второе уравнение:

$400 = k\frac{q}{a^2}\left(\sqrt{2} - \frac{1}{2}\right)$ (2)

3. Решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения $a$. Для этого разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{E}{\phi} = \frac{k\frac{q}{a^2}\left(\sqrt{2} - \frac{1}{2}\right)}{k\frac{q}{a}\left(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{1}{a} \cdot \frac{\sqrt{2} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Отсюда выразим $a$:

$a = \frac{\phi}{E} \cdot \frac{\sqrt{2} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим дробное выражение:

$\frac{\sqrt{2} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{2}-1}{2}}{\frac{4-\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}-1}{4-\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{2}-1)(4+\sqrt{2})}{(4-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})} = \frac{8\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 - 4 - \sqrt{2}}{4^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{7\sqrt{2}}{14} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим упрощенное выражение в формулу для $a$:

$a = \frac{\phi}{E} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Подставим числовые значения из условия задачи:

$a = \frac{30,0 \text{ В}}{400 \text{ В/м}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,075 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,075 \cdot 0,7071 \approx 0,05303 \text{ м}$

Округлив до трех значащих цифр, получим $a \approx 0,0530 \text{ м}$, что составляет $5,30 \text{ см}$.

Ответ: длина стороны квадрата $a \approx 5,30 \text{ см}$.