Номер 930, страница 171 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

а) Дано:

Координаты зарядов из рис. 96 а: $q_1(0,0; 1,0)$ м, $q_2(3,0; 0,0)$ м.

Координаты точки А: $A(1,0; 3,0)$ м.

Проекции напряженности поля в точке А: $E_x = 0,23$ кВ/м, $E_y = 0,11$ кВ/м.

Найти:

Потенциал $\phi$ в точке А.

Решение:

Потенциал $\phi$ в точке A, создаваемый двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\phi = \phi_1 + \phi_2 = k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_2}{r_2}$

где $k$ - коэффициент пропорциональности, $r_1$ и $r_2$ - расстояния от зарядов $q_1$ и $q_2$ до точки А.

Напряженность электростатического поля $\vec{E}$ в точке А является векторной суммой напряженностей полей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$

Вектор напряженности поля точечного заряда $q$ в точке, определяемой радиус-вектором $\vec{r}$ относительно заряда, равен $\vec{E} = k\frac{q}{r^3}\vec{r}$.

Следовательно, проекции результирующего вектора напряженности на оси координат:

$E_x = E_{1x} + E_{2x} = k\frac{q_1}{r_1^3}x_1 + k\frac{q_2}{r_2^3}x_2$

$E_y = E_{1y} + E_{2y} = k\frac{q_1}{r_1^3}y_1 + k\frac{q_2}{r_2^3}y_2$

где $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ - компоненты радиус-векторов $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$, проведенных от зарядов $q_1$ и $q_2$ к точке А.

Найдем радиус-векторы и квадраты расстояний:

$\vec{r_1} = (A_x - q_{1x}; A_y - q_{1y}) = (1,0 - 0,0; 3,0 - 1,0) = (1,0; 2,0)$ м.

$\vec{r_2} = (A_x - q_{2x}; A_y - q_{2y}) = (1,0 - 3,0; 3,0 - 0,0) = (-2,0; 3,0)$ м.

$r_1^2 = 1,0^2 + 2,0^2 = 5$ м$^2$.

$r_2^2 = (-2,0)^2 + 3,0^2 = 13$ м$^2$.

Введем обозначения: $C_1 = \frac{k q_1}{r_1^3}$ и $C_2 = \frac{k q_2}{r_2^3}$. Система уравнений для проекций напряженности примет вид:

$\begin{cases} E_x = C_1 x_1 + C_2 x_2 \\ E_y = C_1 y_1 + C_2 y_2 \end{cases} \implies \begin{cases} 0,23 = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot (-2) \\ 0,11 = C_1 \cdot 2 + C_2 \cdot 3 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $C_1 = 0,23 + 2C_2$ и подставим во второе:

$0,11 = 2(0,23 + 2C_2) + 3C_2$

$0,11 = 0,46 + 4C_2 + 3C_2$

$-0,35 = 7C_2 \implies C_2 = -0,05$ кВ/м.

Тогда $C_1 = 0,23 + 2(-0,05) = 0,23 - 0,10 = 0,13$ кВ/м.

Выразим искомый потенциал $\phi$ через $C_1$ и $C_2$:

$\phi = k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_2}{r_2} = \left(\frac{k q_1}{r_1^3}\right) r_1^2 + \left(\frac{k q_2}{r_2^3}\right) r_2^2 = C_1 r_1^2 + C_2 r_2^2$

Подставим найденные значения:

$\phi = 0,13 \cdot 5 + (-0,05) \cdot 13 = 0,65 - 0,65 = 0$ кВ.

Ответ: $\phi = 0$ кВ.

б) Дано:

Координаты зарядов из рис. 96 б: $q_1(2,0; 3,0)$ м, $q_2(3,0; 1,0)$ м.

Координаты точки А: $A(0,0; 2,0)$ м.

Проекции напряженности поля в точке А: $E_x = -0,20$ кВ/м, $E_y = -0,30$ кВ/м.

Найти:

Потенциал $\phi$ в точке А.

Решение:

Аналогично пункту а), найдем радиус-векторы и квадраты расстояний от зарядов до точки А:

$\vec{r_1} = (0,0 - 2,0; 2,0 - 3,0) = (-2,0; -1,0)$ м.

$\vec{r_2} = (0,0 - 3,0; 2,0 - 1,0) = (-3,0; 1,0)$ м.

$r_1^2 = (-2,0)^2 + (-1,0)^2 = 5$ м$^2$.

$r_2^2 = (-3,0)^2 + 1,0^2 = 10$ м$^2$.

Составим и решим систему уравнений для $C_1 = \frac{k q_1}{r_1^3}$ и $C_2 = \frac{k q_2}{r_2^3}$:

$\begin{cases} -0,20 = C_1 \cdot (-2) + C_2 \cdot (-3) \\ -0,30 = C_1 \cdot (-1) + C_2 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2C_1 + 3C_2 = 0,20 \\ C_1 - C_2 = 0,30 \end{cases}$

Из второго уравнения $C_1 = 0,30 + C_2$. Подставим в первое:

$2(0,30 + C_2) + 3C_2 = 0,20$

$0,60 + 2C_2 + 3C_2 = 0,20$

$5C_2 = -0,40 \implies C_2 = -0,08$ кВ/м.

Тогда $C_1 = 0,30 + (-0,08) = 0,22$ кВ/м.

Вычислим потенциал по формуле $\phi = C_1 r_1^2 + C_2 r_2^2$:

$\phi = 0,22 \cdot 5 + (-0,08) \cdot 10 = 1,10 - 0,80 = 0,30$ кВ.

Ответ: $\phi = 0,30$ кВ.

в) Дано:

Координаты зарядов из рис. 96 в: $q_1(1,0; 3,0)$ м, $q_2(2,0; 0,0)$ м.

Координаты точки А: $A(3,0; 2,0)$ м.

Проекции напряженности поля в точке А: $E_x = -0,14$ кВ/м, $E_y = 0,12$ кВ/м.

Найти:

Потенциал $\phi$ в точке А.

Решение:

Найдем радиус-векторы и квадраты расстояний от зарядов до точки А:

$\vec{r_1} = (3,0 - 1,0; 2,0 - 3,0) = (2,0; -1,0)$ м.

$\vec{r_2} = (3,0 - 2,0; 2,0 - 0,0) = (1,0; 2,0)$ м.

$r_1^2 = 2,0^2 + (-1,0)^2 = 5$ м$^2$.

$r_2^2 = 1,0^2 + 2,0^2 = 5$ м$^2$.

Составим и решим систему уравнений для $C_1 = \frac{k q_1}{r_1^3}$ и $C_2 = \frac{k q_2}{r_2^3}$:

$\begin{cases} -0,14 = C_1 \cdot 2 + C_2 \cdot 1 \\ 0,12 = C_1 \cdot (-1) + C_2 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2C_1 + C_2 = -0,14 \\ -C_1 + 2C_2 = 0,12 \end{cases}$

Из первого уравнения $C_2 = -0,14 - 2C_1$. Подставим во второе:

$-C_1 + 2(-0,14 - 2C_1) = 0,12$

$-C_1 - 0,28 - 4C_1 = 0,12$

$-5C_1 = 0,40 \implies C_1 = -0,08$ кВ/м.

Тогда $C_2 = -0,14 - 2(-0,08) = -0,14 + 0,16 = 0,02$ кВ/м.

Вычислим потенциал по формуле $\phi = C_1 r_1^2 + C_2 r_2^2$:

$\phi = (-0,08) \cdot 5 + 0,02 \cdot 5 = (-0,08 + 0,02) \cdot 5 = -0,06 \cdot 5 = -0,30$ кВ.

Ответ: $\phi = -0,30$ кВ.