Номер 928, страница 170 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Координата точки $x = 0,50 \text{ м}$

Координата заряда $q_1: x_1 = 0,0 \text{ м}$

Координата заряда $q_2: x_2 = 1,0 \text{ м}$

Электрическая постоянная $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Данные с графиков (координата $x$ дана в дм):

1,0 дм = 0,1 м

9,0 дм = 0,9 м

Найти:

$E_x$ - проекцию напряженности поля в точке $x$ для каждого случая а, б, в.

Решение:

Потенциал электростатического поля, создаваемого двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$ в точке с координатой $x$ на оси ОХ, определяется по принципу суперпозиции:

$\phi(x) = \phi_1(x) + \phi_2(x) = k\frac{q_1}{|x-x_1|} + k\frac{q_2}{|x-x_2|}$

Так как заряды расположены в точках $x_1=0$ и $x_2=1$, а нас интересуют точки между ними ($0 < x < 1$), то формула упрощается:

$\phi(x) = k\frac{q_1}{x} + k\frac{q_2}{1-x}$

Проекция напряженности электрического поля на ось ОХ связана с потенциалом соотношением:

$E_x = -\frac{d\phi}{dx}$

Найдем производную от выражения для потенциала:

$E_x(x) = -\frac{d}{dx} \left( k\frac{q_1}{x} + k\frac{q_2}{1-x} \right) = -k \left( -\frac{q_1}{x^2} - \frac{q_2}{(1-x)^2} \cdot (-1) \right) = k \left( \frac{q_1}{x^2} - \frac{q_2}{(1-x)^2} \right)$

Нас интересует напряженность в точке $x = 0,5$ м. Подставим это значение в формулу:

$E_x(0,5) = k \left( \frac{q_1}{(0,5)^2} - \frac{q_2}{(1-0,5)^2} \right) = k \left( \frac{q_1}{0,25} - \frac{q_2}{0,25} \right) = 4k(q_1 - q_2)$

Для нахождения $E_x$ в каждом случае необходимо сначала определить величины зарядов $q_1$ и $q_2$, используя данные с графиков.

а) Из графика видно, что при $x \rightarrow 0$ и $x \rightarrow 1$ м потенциал стремится к $+\infty$, следовательно, оба заряда $q_1$ и $q_2$ положительны. Возьмем две точки с графика: при $x_A = 1,0 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$ потенциал $\phi_A = 190 \text{ В}$, и при $x_B = 9,0 \text{ дм} = 0,9 \text{ м}$ потенциал $\phi_B = 190 \text{ В}$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \phi(0,1) = k(\frac{q_1}{0,1} + \frac{q_2}{0,9}) = 190 \\ \phi(0,9) = k(\frac{q_1}{0,9} + \frac{q_2}{0,1}) = 190 \end{cases}$

Так как правые части уравнений равны, приравняем левые:

$k(\frac{q_1}{0,1} + \frac{q_2}{0,9}) = k(\frac{q_1}{0,9} + \frac{q_2}{0,1})$

$10q_1 + \frac{10}{9}q_2 = \frac{10}{9}q_1 + 10q_2$

$(10 - \frac{10}{9})q_1 = (10 - \frac{10}{9})q_2 \implies q_1 = q_2$

Так как заряды равны, то в точке $x=0,5$ м:

$E_x(0,5) = 4k(q_1 - q_2) = 4k(q_1 - q_1) = 0$

Ответ: $E_x = 0 \text{ В/м}$.

б) Из графика видно, что при $x \rightarrow 0$ потенциал $\phi \rightarrow +\infty$ ($q_1 > 0$), а при $x \rightarrow 1$ м потенциал $\phi \rightarrow -\infty$ ($q_2 < 0$).

Возьмем точки с графика: при $x_A = 1,0 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$ потенциал $\phi_A = 17,5 \text{ В}$, и при $x_B = 9,0 \text{ дм} = 0,9 \text{ м}$ потенциал $\phi_B = -42,5 \text{ В}$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} k(\frac{q_1}{0,1} + \frac{q_2}{0,9}) = 17,5 \\ k(\frac{q_1}{0,9} + \frac{q_2}{0,1}) = -42,5 \end{cases} \implies \begin{cases} 10q_1 + \frac{10}{9}q_2 = \frac{17,5}{k} \\ \frac{10}{9}q_1 + 10q_2 = -\frac{42,5}{k} \end{cases}$

Умножим оба уравнения на 9:

$\begin{cases} 90q_1 + 10q_2 = \frac{157,5}{k} \\ 10q_1 + 90q_2 = -\frac{382,5}{k} \end{cases}$

Сложим уравнения: $100(q_1+q_2) = \frac{157,5 - 382,5}{k} = -\frac{225}{k} \implies q_1+q_2 = -\frac{2,25}{k}$

Вычтем второе уравнение из первого: $80(q_1-q_2) = \frac{157,5 - (-382,5)}{k} = \frac{540}{k} \implies q_1-q_2 = \frac{6,75}{k}$

Теперь можем найти $E_x$ в точке $x = 0,5$ м:

$E_x(0,5) = 4k(q_1 - q_2) = 4k \left( \frac{6,75}{k} \right) = 4 \cdot 6,75 = 27 \text{ В/м}$

Ответ: $E_x = 27 \text{ В/м}$.

в) Из графика видно, что при $x \rightarrow 0$ потенциал $\phi \rightarrow -\infty$ ($q_1 < 0$), а при $x \rightarrow 1$ м потенциал $\phi \rightarrow +\infty$ ($q_2 > 0$).

Возьмем точки с графика: при $x_A = 1,0 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$ потенциал $\phi_A = -42,5 \text{ В}$, и при $x_B = 9,0 \text{ дм} = 0,9 \text{ м}$ потенциал $\phi_B = 17,5 \text{ В}$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} k(\frac{q_1}{0,1} + \frac{q_2}{0,9}) = -42,5 \\ k(\frac{q_1}{0,9} + \frac{q_2}{0,1}) = 17,5 \end{cases} \implies \begin{cases} 10q_1 + \frac{10}{9}q_2 = -\frac{42,5}{k} \\ \frac{10}{9}q_1 + 10q_2 = \frac{17,5}{k} \end{cases}$

Умножим оба уравнения на 9:

$\begin{cases} 90q_1 + 10q_2 = -\frac{382,5}{k} \\ 10q_1 + 90q_2 = \frac{157,5}{k} \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $80(q_1-q_2) = \frac{-382,5 - 157,5}{k} = -\frac{540}{k} \implies q_1-q_2 = -\frac{6,75}{k}$

Теперь можем найти $E_x$ в точке $x = 0,5$ м:

$E_x(0,5) = 4k(q_1 - q_2) = 4k \left( -\frac{6,75}{k} \right) = -4 \cdot 6,75 = -27 \text{ В/м}$

Ответ: $E_x = -27 \text{ В/м}$.