Номер 922, страница 169 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\phi_1 = 0,30 \text{ кВ}$

$R_1 = 15 \text{ см}$

$\phi_2 = 0,10 \text{ кВ}$

Перевод в систему СИ:

$\phi_1 = 0,30 \times 10^3 \text{ В} = 300 \text{ В}$

$R_1 = 15 \times 10^{-2} \text{ м} = 0,15 \text{ м}$

$\phi_2 = 0,10 \times 10^3 \text{ В} = 100 \text{ В}$

Найти:

$R_2$

Решение:

Заряд первого шара до соединения определяется его электроёмкостью $C_1$ и потенциалом $\phi_1$. Электроёмкость уединенного проводящего шара радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$C = 4\pi\epsilon_0 R$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Начальный заряд первого шара $q_1$ равен:

$q_1 = C_1 \phi_1 = 4\pi\epsilon_0 R_1 \phi_1$

Второй шар изначально не был заряжен, поэтому его заряд равен нулю.

При соединении шаров длинной тонкой проволокой они образуют единую проводящую систему. Согласно закону сохранения электрического заряда, общий заряд системы остается неизменным и равным начальному заряду первого шара:

$q_{общ} = q_1$

После соединения заряд перераспределяется между шарами, и их потенциалы становятся одинаковыми и равными $\phi_2$. Общая электроёмкость системы двух шаров, соединенных длинной проволокой (что позволяет пренебречь их взаимным влиянием), равна сумме их электроёмкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2 = 4\pi\epsilon_0 R_1 + 4\pi\epsilon_0 R_2 = 4\pi\epsilon_0 (R_1 + R_2)$

Потенциал системы после соединения связан с её общим зарядом и общей ёмкостью соотношением:

$\phi_2 = \frac{q_{общ}}{C_{общ}}$

Подставим выражения для общего заряда и общей ёмкости:

$\phi_2 = \frac{4\pi\epsilon_0 R_1 \phi_1}{4\pi\epsilon_0 (R_1 + R_2)}$

Сократив множитель $4\pi\epsilon_0$, получим:

$\phi_2 = \frac{R_1 \phi_1}{R_1 + R_2}$

Выразим из этого уравнения искомый радиус $R_2$:

$\phi_2 (R_1 + R_2) = R_1 \phi_1$

$\phi_2 R_1 + \phi_2 R_2 = R_1 \phi_1$

$\phi_2 R_2 = R_1 \phi_1 - \phi_2 R_1$

$\phi_2 R_2 = R_1 (\phi_1 - \phi_2)$

$R_2 = R_1 \frac{\phi_1 - \phi_2}{\phi_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R_2 = 0,15 \text{ м} \cdot \frac{300 \text{ В} - 100 \text{ В}}{100 \text{ В}} = 0,15 \text{ м} \cdot \frac{200}{100} = 0,15 \text{ м} \cdot 2 = 0,30 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,30 \text{ м} = 30 \text{ см}$.

Ответ: $30 \text{ см}$.