Номер 920, страница 169 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$N = 1000$

Найти:

$k = \frac{\phi_{2}}{\phi_{1}}$

Решение:

Пусть $q_1$ и $r_1$ — заряд и радиус каждой маленькой капли, а $Q$ и $R$ — заряд и радиус большой капли, образовавшейся после слияния.

Потенциал на поверхности заряженной сферической капли определяется формулой:

$\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$

Тогда потенциал маленькой капли:

$\phi_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{r_1}$

А потенциал большой капли:

$\phi_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$

При слиянии капель их суммарный заряд сохраняется. Так как все маленькие капли имели одинаковые заряды, заряд большой капли будет равен:

$Q = N \cdot q_1$

Также сохраняется и суммарный объем вещества. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Объем большой капли равен сумме объемов маленьких капель:

$V_2 = N \cdot V_1$

$\frac{4}{3}\pi R^3 = N \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3$

Отсюда находим связь между радиусами большой и маленькой капель:

$R^3 = N \cdot r_1^3$

$R = \sqrt[3]{N} \cdot r_1$

Теперь найдем искомое отношение потенциалов $k$:

$k = \frac{\phi_{2}}{\phi_{1}} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{r_1}} = \frac{Q}{R} \cdot \frac{r_1}{q_1}$

Подставим в это выражение найденные соотношения для $Q$ и $R$:

$k = \frac{N \cdot q_1}{\sqrt[3]{N} \cdot r_1} \cdot \frac{r_1}{q_1} = \frac{N}{\sqrt[3]{N}} = N^{1-\frac{1}{3}} = N^{\frac{2}{3}}$

Подставим числовое значение $N=1000$:

$k = 1000^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{1000})^2 = 10^2 = 100$

Ответ: потенциал большой капли больше потенциала маленькой капли в 100 раз.