Номер 916, страница 169 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$r = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$q = 1,0 \text{ нКл} = 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$r_1 = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$r_2 = 3,0 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

Электрическая постоянная $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$\phi$

Решение:

Для решения задачи используется метод зеркальных изображений. Электрическое поле, создаваемое точечным зарядом $q$ вблизи проводящей бесконечной плоскости, в области, где находится заряд, эквивалентно полю, создаваемому системой из двух зарядов: самого заряда $q$ и его "зеркального изображения" — заряда $q'$, который равен по величине и противоположен по знаку ($q' = -q$) и расположен симметрично заряду $q$ относительно плоскости.

Потенциал поля в искомой точке, согласно принципу суперпозиции, является алгебраической суммой потенциалов, создаваемых зарядом $q$ и его изображением $q'$:

$\phi = \phi_q + \phi_{q'}$

Потенциал, создаваемый точечным зарядом, определяется формулой $\phi = \frac{k q}{d}$, где $d$ — расстояние от заряда до точки, в которой определяется потенциал.

Потенциал от исходного заряда $q$ в данной точке равен:

$\phi_q = \frac{k q}{r_2}$

Потенциал от зеркального изображения $q' = -q$ равен:

$\phi_{q'} = \frac{k q'}{r_2'} = -\frac{k q}{r_2'}$

Здесь $r_2'$ — расстояние от зеркального изображения до искомой точки. Таким образом, итоговый потенциал:

$\phi = \frac{k q}{r_2} - \frac{k q}{r_2'} = k q \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_2'}\right)$

Найдем расстояние $r_2'$. Введем систему координат так, чтобы проводящая плоскость совпадала с плоскостью $YOZ$. Заряд $q$ находится на оси $OX$ в точке с координатой $x=r$. Его изображение $q'$ будет в точке с координатой $x=-r$. Искомая точка $P$ находится на расстоянии $r_1$ от плоскости, то есть ее координата $x_P = r_1$. Пусть поперечное расстояние (параллельно плоскости) от заряда до точки $P$ равно $y$.

Тогда квадрат расстояния от заряда $q$ до точки $P$ равен:

$r_2^2 = (r - r_1)^2 + y^2$

Квадрат расстояния от изображения $q'$ до точки $P$ равен:

$r_2'^2 = (-r - r_1)^2 + y^2 = (r + r_1)^2 + y^2$

Из первого уравнения выразим $y^2$:

$y^2 = r_2^2 - (r - r_1)^2$

Подставим $y^2$ во второе уравнение:

$r_2'^2 = (r + r_1)^2 + r_2^2 - (r - r_1)^2$

Раскроем скобки:

$r_2'^2 = (r^2 + 2rr_1 + r_1^2) + r_2^2 - (r^2 - 2rr_1 + r_1^2)$

$r_2'^2 = r^2 + 2rr_1 + r_1^2 + r_2^2 - r^2 + 2rr_1 - r_1^2 = 4rr_1 + r_2^2$

Подставим численные значения в систему СИ:

$r_2'^2 = 4 \cdot (0,02 \text{ м}) \cdot (0,02 \text{ м}) + (0,03 \text{ м})^2 = 4 \cdot 0,0004 \text{ м}^2 + 0,0009 \text{ м}^2 = 0,0016 \text{ м}^2 + 0,0009 \text{ м}^2 = 0,0025 \text{ м}^2$

$r_2' = \sqrt{0,0025 \text{ м}^2} = 0,05 \text{ м}$

Теперь можем рассчитать потенциал $\phi$:

$\phi = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 1,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \left(\frac{1}{0,03 \text{ м}} - \frac{1}{0,05 \text{ м}}\right)$

$\phi = 9 \left(\frac{1}{0,03} - \frac{1}{0,05}\right) \text{ В} = 9 \left(\frac{100}{3} - \frac{100}{5}\right) \text{ В} = 9 \left(\frac{100}{3} - 20\right) \text{ В}$

$\phi = 9 \left(\frac{100 - 60}{3}\right) \text{ В} = 9 \cdot \frac{40}{3} \text{ В} = 3 \cdot 40 \text{ В} = 120 \text{ В}$

Ответ: $120 \text{ В}$.