Номер 911, страница 168 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Массы шариков: $m_1, m_2$

Заряды шариков: $q_1, q_2$

Напряженность однородного электростатического поля: $E$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

$a$ - модуль ускорения шариков

$F_{упр}$ - модуль силы упругости нити

Решение:

На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила упругости нити ($\vec{F}_{упр}$) и электрическая сила ($\vec{F}_e = q\vec{E}$).

По условию, вектор напряженности $\vec{E}$ направлен вертикально вниз. Так как заряды шариков $q_1$ и $q_2$ положительны, то электрические силы $F_{e1} = q_1E$ и $F_{e2} = q_2E$ также направлены вертикально вниз, сонаправленно с силами тяжести.

Запишем второй закон Ньютона для каждого шарика в проекции на вертикальную ось $OY$, направленную вниз. Поскольку нить нерастяжима, модули ускорений шариков одинаковы. Пусть шарик с массой $m_2$ движется вниз с ускорением $a$, тогда шарик с массой $m_1$ будет двигаться вверх с таким же по модулю ускорением. В проекции на ось $OY$ ускорение первого шарика будет равно $-a$, а второго $a$.

Уравнение движения для первого шарика (масса $m_1$):

$m_1g + q_1E - F_{упр} = m_1(-a)$ (1)

Уравнение движения для второго шарика (масса $m_2$):

$m_2g + q_2E - F_{упр} = m_2a$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $a$ и $F_{упр}$. Решим эту систему.

модуль ускорения $a$ шариков

Для нахождения ускорения $a$ вычтем из уравнения (2) уравнение (1):

$(m_2g + q_2E - F_{упр}) - (m_1g + q_1E - F_{упр}) = m_2a - (-m_1a)$

Раскроем скобки и упростим:

$m_2g + q_2E - m_1g - q_1E = m_2a + m_1a$

$(m_2 - m_1)g + (q_2 - q_1)E = (m_1 + m_2)a$

Отсюда выразим $a$:

$a = \frac{(m_2 - m_1)g + (q_2 - q_1)E}{m_1 + m_2}$

Поскольку требуется найти модуль ускорения, мы должны взять абсолютное значение полученного выражения:

Ответ: $a = \left| \frac{(m_2 - m_1)g + (q_2 - q_1)E}{m_1 + m_2} \right|$

модуль силы упругости $F_{упр}$ нити

Для нахождения силы упругости $F_{упр}$ можно выразить ускорение $a$ из одного уравнения и подставить в другое. Умножим уравнение (1) на $m_2$, а уравнение (2) на $m_1$:

$m_2(m_1g + q_1E - F_{упр}) = -m_1m_2a$

$m_1(m_2g + q_2E - F_{упр}) = m_1m_2a$

Приравняем правые части с противоположным знаком или сложим левые части, приравняв к нулю:

$m_2(m_1g + q_1E - F_{упр}) + m_1(m_2g + q_2E - F_{упр}) = 0$

$m_1m_2g + m_2q_1E - m_2F_{упр} + m_1m_2g + m_1q_2E - m_1F_{упр} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$2m_1m_2g + (m_1q_2 + m_2q_1)E = (m_1 + m_2)F_{упр}$

Отсюда выразим $F_{упр}$:

Ответ: $F_{упр} = \frac{2m_1m_2g + (m_1q_2 + m_2q_1)E}{m_1 + m_2}$