Номер 906, страница 167 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 5,0 \cdot 10^6$ м/с

$E = 1,0$ кВ/м

$l = 0,80$ см

Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг

Перевод в СИ:

$E = 1,0 \cdot 10^3$ В/м

$l = 0,80 \cdot 10^{-2}$ м $= 8,0 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

$s$ - ?

$\Delta t$ - ?

$\frac{\Delta W}{W_0}$ - ?

Решение:

Электрон имеет отрицательный заряд ($q = -e$), поэтому сила, действующая на него в электрическом поле, направлена противоположно вектору напряженности поля: $\vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}$. Поскольку электрон тормозит до полной остановки, сила $\vec{F}$ должна быть направлена против его начальной скорости $\vec{v_0}$. Это означает, что вектор напряженности поля $\vec{E}$ сонаправлен с вектором начальной скорости $\vec{v_0}$.

Движение электрона является равнозамедленным. Модуль ускорения, с которым движется электрон, найдем по второму закону Ньютона:

$F = m_e a \implies eE = m_e a \implies a = \frac{eE}{m_e}$

s

Расстояние $s$, которое пройдет электрон до остановки, можно найти, используя теорему о кинетической энергии. Работа, совершаемая силами поля, равна изменению кинетической энергии электрона:

$A = \Delta W_k = W_k - W_{k0}$

Работа поля на пути $s$ равна $A = -F \cdot s = -eEs$ (знак минус, так как сила направлена против перемещения). Конечная кинетическая энергия $W_k = 0$, а начальная $W_{k0} = \frac{m_e v_0^2}{2}$.

$-eEs = 0 - \frac{m_e v_0^2}{2}$

Отсюда выражаем расстояние $s$:

$s = \frac{m_e v_0^2}{2eE}$

Подставим числовые значения:

$s = \frac{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (5,0 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1,0 \cdot 10^3 \text{ В/м})} = \frac{9,1 \cdot 25 \cdot 10^{-31+12}}{3,2 \cdot 10^{-19+3}} = \frac{227,5 \cdot 10^{-19}}{3,2 \cdot 10^{-16}} \approx 71,1 \cdot 10^{-3} \text{ м} \approx 7,1 \text{ см}$

Ответ: $s \approx 7,1$ см.

$\Delta t$

Промежуток времени $\Delta t$ до остановки найдем из кинематической формулы для скорости при равноускоренном движении: $v = v_0 - at$.

Так как конечная скорость $v=0$, получаем:

$0 = v_0 - a\Delta t \implies \Delta t = \frac{v_0}{a}$

Подставим выражение для ускорения $a = \frac{eE}{m_e}$:

$\Delta t = \frac{v_0}{\frac{eE}{m_e}} = \frac{m_e v_0}{eE}$

Подставим числовые значения:

$\Delta t = \frac{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (5,0 \cdot 10^6 \text{ м/с})}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1,0 \cdot 10^3 \text{ В/м})} = \frac{45,5 \cdot 10^{-25}}{1,6 \cdot 10^{-16}} \approx 28,4 \cdot 10^{-9} \text{ с} \approx 28 \text{ нс}$

Ответ: $\Delta t \approx 28$ нс.

$\frac{\Delta W}{W_0}$

Потеря кинетической энергии $\Delta W$ на пути $l$ равна работе, которую совершило электрическое поле на этом расстоянии: $\Delta W = A = eEl$.

Начальная кинетическая энергия электрона $W_0 = \frac{m_e v_0^2}{2}$.

Найдем отношение потерянной энергии к начальной:

$\frac{\Delta W}{W_0} = \frac{eEl}{\frac{m_e v_0^2}{2}} = \frac{2eEl}{m_e v_0^2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{\Delta W}{W_0} = \frac{2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1,0 \cdot 10^3 \text{ В/м}) \cdot (8,0 \cdot 10^{-3} \text{ м})}{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (5,0 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2} = \frac{2,56 \cdot 10^{-18}}{2,275 \cdot 10^{-17}} \approx 0,1125$

С учетом точности исходных данных, округляем до двух значащих цифр.

Ответ: $\frac{\Delta W}{W_0} \approx 0,11$.