Номер 910, страница 167 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E = 0,15 \, \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$

$v_0 = 2,0 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$\alpha = 60^\circ$

$\Delta t = 3,0 \cdot 10^{-8} \, \text{с}$

Справочные данные:

Заряд электрона $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}$

Масса электрона $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}$

Перевод в систему СИ:

$E = 0,15 \cdot 10^3 \, \frac{\text{В}}{\text{м}} = 150 \, \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Найти:

$\beta$

Решение:

На электрон в однородном электростатическом поле действует постоянная сила $\vec{F}$, направленная противоположно вектору напряженности $\vec{E}$, так как заряд электрона ($q=-e$) отрицателен:

$\vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону постоянное ускорение $\vec{a}$:

$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_e} = -\frac{e\vec{E}}{m_e}$

Введем систему координат, направив ось Ох вдоль вектора напряженности $\vec{E}$, а ось Оу перпендикулярно ему. Тогда вектор ускорения будет иметь только одну ненулевую компоненту, направленную против оси Ох:

$a_x = -\frac{eE}{m_e}$, $a_y = 0$

Движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений: равномерного вдоль оси Оу и равноускоренного (в данном случае равнозамедленного) вдоль оси Ох.

Найдем проекции начальной скорости $v_0$ на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Через промежуток времени $\Delta t$ компоненты скорости электрона $v_x$ и $v_y$ будут равны:

$v_x = v_{0x} + a_x \Delta t = v_0 \cos\alpha - \frac{eE}{m_e}\Delta t$

$v_y = v_{0y} + a_y \Delta t = v_0 \sin\alpha$

Угол $\beta$, который вектор конечной скорости будет составлять с линиями напряженности поля (то есть с осью Ох), можно найти из соотношения тангенса угла:

$\tan\beta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_0 \sin\alpha}{v_0 \cos\alpha - \frac{eE}{m_e}\Delta t}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления.

Проекции начальной скорости:

$v_{0x} = 2,0 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \cos 60^\circ = 2,0 \cdot 10^6 \cdot 0,5 = 1,0 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_{0y} = 2,0 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sin 60^\circ = 2,0 \cdot 10^6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1,732 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найдем проекцию скорости на ось Ох через время $\Delta t$:

$v_x = 1,0 \cdot 10^6 - \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл} \cdot 150 \, \frac{\text{В}}{\text{м}}}{9,1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}} \cdot 3,0 \cdot 10^{-8} \, \text{с}$

$v_x \approx 1,0 \cdot 10^6 - (2,64 \cdot 10^{13}) \cdot (3,0 \cdot 10^{-8}) \approx 1,0 \cdot 10^6 - 7,92 \cdot 10^5 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_x \approx (10 \cdot 10^5 - 7,92 \cdot 10^5) \, \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2,08 \cdot 10^5 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Проекция скорости на ось Оу не изменяется:

$v_y \approx 1,732 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь найдем тангенс искомого угла $\beta$:

$\tan\beta = \frac{v_y}{v_x} \approx \frac{1,732 \cdot 10^6}{2,08 \cdot 10^5} \approx 8,33$

Отсюда находим угол $\beta$:

$\beta = \arctan(8,33) \approx 83,1^\circ$

Ответ: скорость электрона через заданный промежуток времени будет направлена под углом $\beta \approx 83,1^\circ$ к линиям напряженности поля.