Номер 912, страница 168 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Заряд в точке А: $q_1 = q$
Заряд в точке B: $q_2 = q$
Расстояние между точками А и В: $r_{AB} = 2L$
Точка С — середина отрезка AB.
Расстояние от C до D: $r_{CD} = \frac{L}{2}$
Потенциал в точке D: $\phi_D = 0$

Найти:

Заряд $q_0$ в точке C.

Решение:

Потенциал электростатического поля в некоторой точке, созданный системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, созданных в этой точке каждым из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции).

Потенциал $\phi$, создаваемый точечным зарядом $Q$ на расстоянии $r$ от него, определяется по формуле:

$\phi = k \frac{Q}{r}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, в вакууме $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Суммарный потенциал в точке D равен сумме потенциалов, создаваемых зарядами $q_1$ (в точке А), $q_2$ (в точке В) и $q_0$ (в точке С):

$\phi_D = \phi_A + \phi_B + \phi_C = 0$

$\phi_D = k \frac{q_1}{r_{AD}} + k \frac{q_2}{r_{BD}} + k \frac{q_0}{r_{CD}} = 0$

Определим расстояния от зарядов до точки D, исходя из данных на рисунке:

Точка C — середина отрезка AB, длина которого $2L$. Следовательно, $AC = CB = L$.

Расстояние от заряда $q_1$ в точке А до точки D:$r_{AD} = AC + CD = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$

Расстояние от заряда $q_2$ в точке B до точки D:$r_{BD} = CB - CD = L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2}$

Расстояние от заряда $q_0$ в точке C до точки D:$r_{CD} = \frac{L}{2}$

Подставим найденные расстояния и значения зарядов ($q_1=q$, $q_2=q$) в уравнение для потенциала в точке D:

$k \frac{q}{3L/2} + k \frac{q}{L/2} + k \frac{q_0}{L/2} = 0$

Разделим обе части уравнения на $k$ (так как $k \neq 0$):

$\frac{q}{3L/2} + \frac{q}{L/2} + \frac{q_0}{L/2} = 0$

Преобразуем дроби:

$\frac{2q}{3L} + \frac{2q}{L} + \frac{2q_0}{L} = 0$

Умножим обе части уравнения на $L$:

$\frac{2q}{3} + 2q + 2q_0 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{2q}{3} + \frac{6q}{3} + 2q_0 = 0$

$\frac{8q}{3} + 2q_0 = 0$

Выразим $q_0$:

$2q_0 = -\frac{8q}{3}$

$q_0 = -\frac{8q}{3 \cdot 2} = -\frac{4q}{3}$

Ответ: $q_0 = -\frac{4}{3}q$.