Номер 917, страница 169 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус внешней сферы: $R$

Радиус внутренней сферы: $r$

Заряд внешней сферы: $q_1$

Заряд внутренней сферы: $q_2$

Условие: $r < R$, центры сфер совпадают.

Найти:

Потенциал на поверхности внешней сферы: $\phi_1$

Потенциал на поверхности внутренней сферы: $\phi_2$

Решение:

Для нахождения потенциалов на поверхностях сфер воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей. Потенциал в любой точке является алгебраической суммой потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Потенциал, создаваемый сферой радиуса $R_0$ с зарядом $q_0$ в точке на расстоянии $d$ от ее центра, равен:

1. $\phi = k \frac{q_0}{d}$ для точек вне сферы ($d \ge R_0$).

2. $\phi = k \frac{q_0}{R_0}$ для точек на поверхности и внутри сферы ($d \le R_0$).

Здесь $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

$\phi_1$

Потенциал на поверхности внешней сферы (на расстоянии $R$ от центра) равен сумме потенциалов, создаваемых зарядом $q_1$ самой этой сферы и зарядом $q_2$ внутренней сферы.

Потенциал от собственного заряда $q_1$ на своей поверхности равен $\phi_{11} = k \frac{q_1}{R}$.

Потенциал от заряда $q_2$ внутренней сферы в точке на расстоянии $R$ от центра (т.к. $R > r$, точка находится вне внутренней сферы) равен $\phi_{21} = k \frac{q_2}{R}$.

Суммарный потенциал $\phi_1$ по принципу суперпозиции:

$\phi_1 = \phi_{11} + \phi_{21} = k \frac{q_1}{R} + k \frac{q_2}{R} = k \frac{q_1 + q_2}{R}$.

Ответ: $\phi_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 + q_2}{R}$

$\phi_2$

Потенциал на поверхности внутренней сферы (на расстоянии $r$ от центра) равен сумме потенциалов, создаваемых зарядом $q_2$ самой этой сферы и зарядом $q_1$ внешней сферы.

Потенциал от собственного заряда $q_2$ на своей поверхности равен $\phi_{22} = k \frac{q_2}{r}$.

Потенциал от заряда $q_1$ внешней сферы в точке на расстоянии $r$ от центра (т.к. $r < R$, точка находится внутри внешней сферы) постоянен и равен потенциалу на поверхности внешней сферы: $\phi_{12} = k \frac{q_1}{R}$.

Суммарный потенциал $\phi_2$ по принципу суперпозиции:

$\phi_2 = \phi_{22} + \phi_{12} = k \frac{q_2}{r} + k \frac{q_1}{R}$.

Ответ: $\phi_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q_1}{R} + \frac{q_2}{r} \right)$