Номер 923, страница 170 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус металлического шарика, $r = 10 \text{ мм} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,01 \text{ м}$

Начальный потенциал шарика, $\varphi_1 = 0,27 \text{ кВ} = 0,27 \cdot 10^3 \text{ В} = 270 \text{ В}$

Радиус полого шара, $R = 10 \text{ см} = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Начальный потенциал полого шара, $\varphi_2 = 0,45 \text{ кВ} = 0,45 \cdot 10^3 \text{ В} = 450 \text{ В}$

Электрическая постоянная (коэффициент в законе Кулона), $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$\varphi'_1, \varphi'_2, q'_1, q'_2$

Решение:

Сначала найдем начальные заряды шарика и полого шара. Потенциал уединенного проводящего шара радиусом $r_0$ с зарядом $q$ определяется по формуле $\varphi = k\frac{q}{r_0}$. Отсюда заряд можно выразить как $q = \frac{\varphi r_0}{k}$.

Начальный заряд малого шарика:

$q_1 = \frac{\varphi_1 r}{k} = \frac{270 \text{ В} \cdot 0,01 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = \frac{2,7}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} = 0,3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 0,3 \text{ нКл}$.

Начальный заряд большого полого шара:

$q_2 = \frac{\varphi_2 R}{k} = \frac{450 \text{ В} \cdot 0,1 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = \frac{45}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} = 5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 5 \text{ нКл}$.

Когда малый шарик соприкасается с внутренней поверхностью большого полого шара, они образуют единый проводник. В состоянии электростатического равновесия весь избыточный заряд такого проводника располагается на его внешней поверхности. Это означает, что весь заряд с малого шарика перейдет на большой шар, и их суммарный заряд окажется на внешней поверхности большого шара.

По закону сохранения заряда, суммарный заряд системы до и после соприкосновения остается неизменным:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = 0,3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} + 5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 5,3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$.

$q'_1$

Так как весь заряд переходит на внешнюю поверхность объединенного проводника, заряд на малом шарике после соприкосновения будет равен нулю.

Ответ: $q'_1 = 0$.

$q'_2$

Весь общий заряд системы $Q_{общ}$ сосредоточится на большом шаре.

$q'_2 = Q_{общ} = 5,3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$.

Ответ: $q'_2 = 5,3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$ (или 5,3 нКл).

$\varphi'_2$

Потенциал на поверхности и внутри большого шара будет создаваться его новым зарядом $q'_2$.

$\varphi'_2 = k \frac{q'_2}{R} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{5,3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0,1 \text{ м}} = 9 \cdot 53 \text{ В} = 477 \text{ В}$.

Ответ: $\varphi'_2 = 477 \text{ В}$.

$\varphi'_1$

Поскольку шары после соприкосновения представляют собой единый проводник, их потенциалы выравниваются. Потенциал малого шарика становится равным потенциалу большого шара, так как он находится внутри него и является частью той же эквипотенциальной системы.

$\varphi'_1 = \varphi'_2 = 477 \text{ В}$.

Ответ: $\varphi'_1 = 477 \text{ В}$.