Номер 918, страница 169 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 5,0 \text{ см}$

$R_2 = 15 \text{ см}$

$l = 2,4 \text{ м}$

$q_1 = 13 \text{ нКл}$

$q_2 = -40 \text{ нКл}$

Константа $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 0,05 \text{ м}$

$R_2 = 0,15 \text{ м}$

$q_1 = 13 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

$φ_1, φ_2, φ_3$

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, потенциал поля в любой точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности. Потенциал поля, создаваемого заряженным металлическим шаром радиуса $R$ с зарядом $q$, на расстоянии $r$ от его центра равен:

• $φ = \frac{kq}{r}$ при $r \ge R$ (вне шара и на его поверхности)

• $φ = \frac{kq}{R}$ при $r < R$ (внутри шара потенциал постоянен и равен потенциалу на поверхности)

Поскольку расстояние между шарами ($l = 2,4 \text{ м}$) значительно превышает их радиусы, при расчете потенциала, создаваемого одним шаром в точке расположения другого, их можно рассматривать как точечные заряды.

Потенциал $φ_1$ в центре первого шара

Потенциал в центре первого шара является суммой потенциала от собственного заряда $q_1$ и потенциала от заряда $q_2$ второго шара.

Потенциал от собственного заряда внутри первого шара: $φ_{11} = \frac{kq_1}{R_1}$.

Потенциал, создаваемый вторым шаром в центре первого (на расстоянии $l$): $φ_{21} = \frac{kq_2}{l}$.

Суммарный потенциал:

$φ_1 = φ_{11} + φ_{21} = \frac{kq_1}{R_1} + \frac{kq_2}{l} = k \left( \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_2}{l} \right)$

Выполним расчет:

$φ_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \left( \frac{13 \cdot 10^{-9}}{0,05} + \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{2,4} \right) = 9 \cdot \left( \frac{13}{0,05} - \frac{40}{2,4} \right) \approx 9 \cdot (260 - 16,67) = 9 \cdot 243,33 \approx 2190 \text{ В}$

С учетом значащих цифр (2 знака):

Ответ: $φ_1 \approx 2,2 \cdot 10^3 \text{ В} = 2,2 \text{ кВ}$.

Потенциал $φ_2$ в центре второго шара

Потенциал в центре второго шара является суммой потенциала от собственного заряда $q_2$ и потенциала от заряда $q_1$ первого шара.

Потенциал от собственного заряда внутри второго шара: $φ_{22} = \frac{kq_2}{R_2}$.

Потенциал, создаваемый первым шаром в центре второго (на расстоянии $l$): $φ_{12} = \frac{kq_1}{l}$.

Суммарный потенциал:

$φ_2 = φ_{22} + φ_{12} = \frac{kq_2}{R_2} + \frac{kq_1}{l} = k \left( \frac{q_2}{R_2} + \frac{q_1}{l} \right)$

Выполним расчет:

$φ_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0,15} + \frac{13 \cdot 10^{-9}}{2,4} \right) = 9 \cdot \left( -\frac{40}{0,15} + \frac{13}{2,4} \right) \approx 9 \cdot (-266,67 + 5,42) = 9 \cdot (-261,25) \approx -2351 \text{ В}$

С учетом значащих цифр (2 знака):

Ответ: $φ_2 \approx -2,4 \cdot 10^3 \text{ В} = -2,4 \text{ кВ}$.

Потенциал $φ_3$ на середине отрезка, соединяющего центры шаров

Точка на середине отрезка находится на расстоянии $r = l/2$ от центра каждого шара. Так как эта точка находится вне обоих шаров, для расчета потенциала каждый шар можно считать точечным зарядом.

Потенциал $φ_3$ равен сумме потенциалов от обоих шаров:

$φ_3 = \frac{kq_1}{l/2} + \frac{kq_2}{l/2} = \frac{2k}{l}(q_1 + q_2)$

Выполним расчет:

$φ_3 = \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9}{2,4} \cdot (13 \cdot 10^{-9} - 40 \cdot 10^{-9}) = \frac{18 \cdot 10^9}{2,4} \cdot (-27 \cdot 10^{-9}) = 7,5 \cdot 10^9 \cdot (-27 \cdot 10^{-9}) = -202,5 \text{ В}$

С учетом значащих цифр (2 знака):

Ответ: $φ_3 \approx -2,0 \cdot 10^2 \text{ В} = -200 \text{ В}$.