Номер 921, страница 169 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$
$R_2 = 10 \text{ см} = 0,10 \text{ м}$
$q_1 = 0,80 \text{ нКл} = 0,80 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = 2,0 \text{ нКл} = 2,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$\phi$ — потенциал шаров после соединения,
$q$ — заряд, переместившийся по проволоке.

Решение:

Определите потенциал ф шаров после соединения.

Когда два проводящих шара соединяют проволокой, они образуют единую проводящую систему. Заряды на шарах перераспределяются до тех пор, пока потенциалы на их поверхностях не станут равными. Этот установившийся потенциал $\phi$ будет одинаков для обоих шаров.

Потенциалы шаров после соединения равны:
$\phi = k \frac{q_1'}{R_1} = k \frac{q_2'}{R_2}$
где $q_1'$ и $q_2'$ — заряды на шарах после их соединения.

По закону сохранения электрического заряда, суммарный заряд системы до и после соединения остается неизменным:
$Q_{общ} = q_1 + q_2 = q_1' + q_2'$

Из равенства потенциалов следует соотношение между конечными зарядами:
$\frac{q_1'}{R_1} = \frac{q_2'}{R_2} \implies q_2' = q_1' \frac{R_2}{R_1}$

Подставим это выражение в закон сохранения заряда:
$q_1 + q_2 = q_1' + q_1' \frac{R_2}{R_1} = q_1' \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) = q_1' \frac{R_1 + R_2}{R_1}$
Отсюда можно найти конечный заряд на первом шаре:
$q_1' = (q_1 + q_2) \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Теперь, зная $q_1'$, найдем общий потенциал $\phi$:
$\phi = k \frac{q_1'}{R_1} = k \frac{(q_1 + q_2) \frac{R_1}{R_1 + R_2}}{R_1} = k \frac{q_1 + q_2}{R_1 + R_2}$

Выполним вычисления, подставив числовые значения:
$\phi = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{0,80 \cdot 10^{-9} + 2,0 \cdot 10^{-9}}{0,05 + 0,10} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2,80 \cdot 10^{-9}}{0,15} = \frac{9 \cdot 2,80}{0,15} = \frac{25,2}{0,15} = 168 \text{ В}$

Ответ: Потенциал шаров после соединения равен $168 \text{ В}$.

Какой заряд q переместится по проволоке?

Переместившийся заряд $q$ равен модулю изменения заряда на одном из шаров. Найдем изменение заряда на первом шаре: $q = |q_1' - q_1|$.
Сначала вычислим конечный заряд на первом шаре $q_1'$:
$q_1' = (q_1 + q_2) \frac{R_1}{R_1 + R_2} = (0,80 \cdot 10^{-9} + 2,0 \cdot 10^{-9}) \frac{0,05}{0,05 + 0,10} = 2,80 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{0,05}{0,15} = 2,80 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{1}{3} \approx 0,933 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Теперь найдем величину перемещенного заряда:
$q = |q_1' - q_1| = |0,933 \cdot 10^{-9} - 0,80 \cdot 10^{-9}| = 0,133 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Для проверки можно определить направление движения заряда. Начальные потенциалы шаров:
$\phi_1 = k \frac{q_1}{R_1} = 9 \cdot 10^9 \frac{0,80 \cdot 10^{-9}}{0,05} = 144 \text{ В}$
$\phi_2 = k \frac{q_2}{R_2} = 9 \cdot 10^9 \frac{2,0 \cdot 10^{-9}}{0,10} = 180 \text{ В}$
Так как $\phi_2 > \phi_1$, положительный заряд будет перемещаться от второго шара (с большим потенциалом) к первому (с меньшим потенциалом) до тех пор, пока потенциалы не выровняются. Величина этого заряда и есть $q$.
$q \approx 0,133 \text{ нКл}$. Округляя до двух значащих цифр, получаем $0,13 \text{ нКл}$.

Ответ: По проволоке переместится заряд $q \approx 0,13 \text{ нКл}$.