Номер 908, страница 167 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$E = 1,0 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$

$\Delta t = 10 \text{ нс}$

$v = 2,0 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Справочные данные:

Заряд электрона $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$E = 1,0 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$\Delta t = 10 \cdot 10^{-9} \text{ с} = 1,0 \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Найти:

$v_0$ - ?

Решение:

Электрон влетает в однородное электростатическое поле перпендикулярно линиям напряженности. Это означает, что его начальная скорость $\vec{v}_0$ перпендикулярна вектору напряженности поля $\vec{E}$.

Движение электрона можно разложить на две составляющие: вдоль направления начальной скорости (ось OX) и вдоль линий напряженности поля (ось OY).

1. Движение вдоль оси OX. В этом направлении на электрон не действуют силы (силой тяжести пренебрегаем), поэтому его движение является равномерным. Скорость вдоль оси OX остается постоянной и равной начальной скорости:

$v_x = v_0$

2. Движение вдоль оси OY. В этом направлении на электрон действует постоянная электрическая сила:

$F_y = eE$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону ускорение:

$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$

Поскольку начальная скорость в этом направлении равна нулю ($v_{0y} = 0$), то через промежуток времени $\Delta t$ скорость электрона вдоль оси OY станет:

$v_y = a_y \Delta t = \frac{eE\Delta t}{m_e}$

Полная скорость электрона $v$ в момент времени $\Delta t$ находится как векторная сумма компонент $v_x$ и $v_y$. Так как эти компоненты перпендикулярны, модуль полной скорости можно найти по теореме Пифагора:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2$

Подставим выражения для $v_x$ и $v_y$:

$v^2 = v_0^2 + \left(\frac{eE\Delta t}{m_e}\right)^2$

Из этого уравнения выразим искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = v^2 - \left(\frac{eE\Delta t}{m_e}\right)^2$

$v_0 = \sqrt{v^2 - \left(\frac{eE\Delta t}{m_e}\right)^2}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления. Сначала найдем компоненту скорости $v_y$:

$v_y = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1,0 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot 1,0 \cdot 10^{-8} \text{ с}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 0,176 \cdot 10^7 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 1,76 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Теперь подставим найденное значение в формулу для $v_0$:

$v_0 = \sqrt{(2,0 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 - (1,76 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}$

$v_0 = \sqrt{4,0 \cdot 10^{12} - 3,0976 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{0,9024 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_0 \approx 0,95 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v_0 \approx 0,95 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.