Номер 899, страница 165 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Шар из диэлектрика радиусом $R$.

Полный заряд шара $q$.

Заряд распределен равномерно по объему.

Найти:

$E(r)$ - модуль напряженности электростатического поля на расстоянии $r$ от центра шара.

Построить график зависимости $E(r)$.

Решение:

Определите модуль напряженности E электростатического поля на расстоянии r от центра шара.

Для нахождения напряженности электростатического поля воспользуемся теоремой Гаусса. В силу сферической симметрии распределения заряда, электрическое поле в любой точке будет направлено радиально от центра шара, а его модуль будет зависеть только от расстояния $r$ до центра. В качестве замкнутой поверхности (поверхности Гаусса) выберем сферу радиусом $r$ с центром, совпадающим с центром заряженного шара.

Теорема Гаусса гласит: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{вн}}{\epsilon_0}$, где $q_{вн}$ - заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности, а $\epsilon_0$ - электрическая постоянная.

Для сферической поверхности поток вектора напряженности равен $E \cdot 4\pi r^2$. Следовательно, $E(r) = \frac{q_{вн}}{4\pi \epsilon_0 r^2}$.

Поскольку заряд распределен равномерно, введем объемную плотность заряда $\rho = \frac{q}{V}$, где $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ - объем шара.

$\rho = \frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3q}{4\pi R^3}$.

Рассмотрим два случая для определения $q_{вн}$.

1. Напряженность поля внутри шара ($r \le R$)

В этом случае гауссова сфера радиусом $r$ находится внутри заряженного шара. Заряд, заключенный внутри этой сферы, равен:

$q_{вн} = \rho \cdot V_r = \left(\frac{3q}{4\pi R^3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = q \frac{r^3}{R^3}$.

Тогда модуль напряженности поля внутри шара равен:

$E(r) = \frac{q_{вн}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{q \frac{r^3}{R^3}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}$.

Как видно из формулы, внутри шара напряженность поля растет линейно с увеличением расстояния от центра.

2. Напряженность поля вне шара ($r > R$)

В этом случае гауссова сфера радиусом $r$ окружает заряженный шар целиком. Поэтому заряд, заключенный внутри нее, равен полному заряду шара: $q_{вн} = q$.

Тогда модуль напряженности поля вне шара равен:

$E(r) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$.

Вне шара поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, как поле точечного заряда $q$, помещенного в центр шара.

Ответ: Модуль напряженности электростатического поля в зависимости от расстояния $r$ от центра шара определяется следующими выражениями:

$E(r) = \frac{q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}$ при $r \le R$;

$E(r) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ при $r > R$.

Постройте график зависимости модуля напряженности E(r) от расстояния от центра шара.

Для построения графика используем полученные формулы. При $r=0$, $E(0)=0$. Далее напряженность линейно возрастает до максимального значения на поверхности шара при $r=R$:

$E_{max} = E(R) = \frac{q R}{4\pi \epsilon_0 R^3} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^2}$.

При $r > R$ напряженность начинает убывать по закону $1/r^2$, асимптотически стремясь к нулю на бесконечности.

График зависимости $E(r)$ представлен на рисунке:

Ответ: График зависимости модуля напряженности от расстояния до центра шара показан на рисунке. Внутри шара ($0 \le r \le R$) напряженность растет линейно от 0 до $E_{max}$. Вне шара ($r > R$) напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.