Номер 894, страница 165 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$

$q_1 = q_2 = q = 2,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$E_1$, $E_2$

Решение:

Пусть вершины квадрата обозначены A, B, C, D. Заряды $q_1$ и $q_2$ расположены в противоположных вершинах, например, в A и C. Требуется найти модули напряженностей электростатического поля в двух других вершинах, B и D. Обозначим напряженность в вершине B как $E_1$, а в вершине D как $E_2$.

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность в любой точке, создаваемая системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности.

1. Напряженность поля в вершине B ($E_1$)

Напряженность поля $E_1$ в этой точке является векторной суммой напряженностей $\vec{E}_{AB}$ (от заряда $q_1$ в точке A) и $\vec{E}_{CB}$ (от заряда $q_2$ в точке C):

$\vec{E}_1 = \vec{E}_{AB} + \vec{E}_{CB}$

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$, определяется формулой:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

Расстояние от вершины A до вершины B равно стороне квадрата $a$. Расстояние от вершины C до вершины B также равно $a$. Так как заряды $q_1$ и $q_2$ равны ($q_1 = q_2 = q$), то модули напряженностей $E_{AB}$ и $E_{CB}$ будут одинаковы:

$E_{AB} = k \frac{|q_1|}{a^2} = k \frac{q}{a^2}$

$E_{CB} = k \frac{|q_2|}{a^2} = k \frac{q}{a^2}$

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ положительные, вектор $\vec{E}_{AB}$ направлен от заряда $q_1$ вдоль стороны AB, а вектор $\vec{E}_{CB}$ направлен от заряда $q_2$ вдоль стороны CB. Эти векторы перпендикулярны друг другу, так как угол ABC в квадрате равен $90^\circ$.

Модуль результирующего вектора $E_1$ найдем по теореме Пифагора:

$E_1 = \sqrt{E_{AB}^2 + E_{CB}^2} = \sqrt{\left(k \frac{q}{a^2}\right)^2 + \left(k \frac{q}{a^2}\right)^2} = \sqrt{2 \left(k \frac{q}{a^2}\right)^2} = k \frac{q}{a^2} \sqrt{2}$

2. Напряженность поля в вершине D ($E_2$)

Ситуация в вершине D полностью симметрична ситуации в вершине B. Расстояния от зарядов в A и C до D равны стороне квадрата $a$. Напряженность поля $E_2$ в точке D также будет создаваться двумя одинаковыми по модулю и перпендикулярными друг другу векторами напряженности. Следовательно, модуль напряженности $E_2$ будет равен модулю напряженности $E_1$.

$E_2 = E_1 = k \frac{q}{a^2} \sqrt{2}$

3. Вычисления

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$E_1 = E_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{2,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}}{(0,3 \text{ м})^2} \cdot \sqrt{2}$

$E_1 = E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2,0 \cdot 10^{-7}}{0,09} \cdot \sqrt{2} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

$E_1 = E_2 = \frac{18 \cdot 10^2}{0,09} \cdot \sqrt{2} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 20000 \cdot \sqrt{2} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

$E_1 = E_2 \approx 20000 \cdot 1,414 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} \approx 28280 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

С учетом значащих цифр исходных данных (две), округляем результат:

$E_1 = E_2 \approx 2,8 \cdot 10^4 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$ (или $2,8 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}}$)

Ответ: Модули напряженностей электростатического поля в двух других вершинах квадрата одинаковы и равны $E_1 = E_2 \approx 2,8 \cdot 10^4 \text{ В/м}$.