Номер 896, страница 165 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 2,0$ м

$q_1 = q_2 = 3,0$ нКл $= 3,0 \times 10^{-9}$ Кл

$q_3 = 9,0$ нКл $= 9,0 \times 10^{-9}$ Кл

Постоянная Кулона $k = 9 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

$E$

Решение:

Сначала определим геометрию ромба. По условию, длина меньшей диагонали ромба равна длине его стороны $a$. Это означает, что ромб состоит из двух равносторонних треугольников, имеющих общую сторону (меньшую диагональ).

Пусть вершины ромба обозначены A, B, C, D. Пусть AC — меньшая диагональ. Тогда $AC = a$. Поскольку все стороны ромба также равны $a$, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ являются равносторонними. Следовательно, углы ромба при вершинах B и D являются острыми и равны $60^\circ$, а углы при вершинах A и C — тупыми и равны $120^\circ$ ($60^\circ + 60^\circ$).

Согласно условию, заряды $q_1$ и $q_2$ ($q_1=q_2$) находятся в вершинах острых углов (B и D), а заряд $q_3$ — в вершине одного из тупых углов (пусть это будет A). Требуется найти модуль напряженности поля $E$ в четвертой вершине (C), где находится другой тупой угол.

Напряженность электростатического поля в точке C является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых каждым из трех зарядов в точках A, B и D (согласно принципу суперпозиции полей):

$\vec{E} = \vec{E_A} + \vec{E_B} + \vec{E_D}$

Найдем модули напряженностей, создаваемых каждым зарядом, по формуле $E = k \frac{|q|}{r^2}$.

Расстояния от вершин A, B, D до вершины C:

• Расстояние от A до C — это длина меньшей диагонали, $r_A = AC = a$.
• Расстояние от B до C — это длина стороны, $r_B = BC = a$.
• Расстояние от D до C — это длина стороны, $r_D = DC = a$.

Модули напряженностей:

$E_A = k \frac{|q_3|}{a^2}$

$E_B = k \frac{|q_1|}{a^2}$

$E_D = k \frac{|q_2|}{a^2} = k \frac{|q_1|}{a^2} = E_B$

Теперь выполним векторное сложение. Поскольку все заряды положительные, векторы напряженности направлены от зарядов. Вектор $\vec{E_A}$ направлен вдоль диагонали от A к C. Вектор $\vec{E_B}$ направлен вдоль стороны от B к C. Вектор $\vec{E_D}$ направлен вдоль стороны от D к C.

Сначала сложим векторы $\vec{E_B}$ и $\vec{E_D}$. Угол между ними равен тупому углу ромба $\angle BCD = 120^\circ$. Так как модули векторов равны ($E_B=E_D$), их результирующий вектор $\vec{E_{BD}} = \vec{E_B} + \vec{E_D}$ будет направлен по биссектрисе угла $\angle BCD$, то есть вдоль диагонали AC. Модуль $E_{BD}$ найдем по теореме косинусов:

$E_{BD}^2 = E_B^2 + E_D^2 + 2E_B E_D \cos(120^\circ) = E_B^2 + E_B^2 + 2E_B^2(-\frac{1}{2}) = 2E_B^2 - E_B^2 = E_B^2$

$E_{BD} = E_B = k \frac{|q_1|}{a^2}$

Вектор $\vec{E_{BD}}$ направлен от A к C, то есть он сонаправлен с вектором $\vec{E_A}$. Поэтому модуль результирующей напряженности $E$ равен сумме их модулей:

$E = E_A + E_{BD} = k \frac{|q_3|}{a^2} + k \frac{|q_1|}{a^2} = \frac{k}{a^2}(|q_1|+|q_3|)$

Подставим численные значения:

$E = \frac{9 \times 10^9}{(2,0)^2}(3,0 \times 10^{-9} + 9,0 \times 10^{-9}) = \frac{9 \times 10^9}{4,0}(12,0 \times 10^{-9}) = \frac{9 \times 12,0}{4,0} = 9 \times 3,0 = 27$ В/м.

Ответ: $E = 27$ В/м.