Номер 893, страница 165 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Равносторонний треугольник

$|q_1| = |q_2| = |q_3| = q$

$q_1 > 0$, $q_2 > 0$ (в основании)

$q_3 < 0$ (в вершине)

$E_1 = 1.0 \, \text{В/м}$ (напряженность в середине основания)

Найти:

$E$ - модуль напряженности в центре треугольника

Решение:

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Заряды $q_1 = +q$ и $q_2 = +q$ находятся в вершинах основания, а заряд $q_3 = -q$ - в третьей вершине.

1. Найдем напряженность $E_1$ в точке М, середине основания.

Напряженность электростатического поля в точке М является векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым из трех зарядов: $\vec{E}_1 = \vec{E}_{1M} + \vec{E}_{2M} + \vec{E}_{3M}$.

Заряды $q_1$ и $q_2$ положительны и находятся на одинаковом расстоянии $r_M = a/2$ от точки М. Создаваемые ими поля $\vec{E}_{1M}$ и $\vec{E}_{2M}$ равны по модулю, но направлены в противоположные стороны вдоль основания. Поэтому их векторная сумма равна нулю: $\vec{E}_{1M} + \vec{E}_{2M} = 0$.

Следовательно, результирующая напряженность в точке М создается только зарядом $q_3$. Этот заряд находится на расстоянии, равном высоте треугольника $h$: $h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как заряд $q_3$ отрицательный, вектор напряженности $\vec{E}_{3M}$ направлен к этому заряду, то есть вдоль высоты треугольника от основания к вершине. Модуль этой напряженности и есть $E_1$: $E_1 = |\vec{E}_{3M}| = k \frac{|q_3|}{h^2} = k \frac{q}{(a\sqrt{3}/2)^2} = k \frac{q}{3a^2/4} = \frac{4}{3} k \frac{q}{a^2}$, где $k$ - электростатическая постоянная.

Из этого выражения мы можем выразить комбинацию $k \frac{q}{a^2}$: $k \frac{q}{a^2} = \frac{3}{4} E_1$.

2. Найдем напряженность $E$ в центре треугольника О.

Центр О равностороннего треугольника находится на одинаковом расстоянии $r$ от каждой из вершин: $r = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Напряженность поля в центре $\vec{E}$ является векторной суммой полей от трех зарядов: $\vec{E} = \vec{E}_{1O} + \vec{E}_{2O} + \vec{E}_{3O}$.

Модули напряженностей, создаваемых каждым из зарядов, равны, так как заряды равны по модулю и находятся на одинаковом расстоянии $r$ от центра: $E_0 = E_{1O} = E_{2O} = E_{3O} = k \frac{q}{r^2} = k \frac{q}{(a/\sqrt{3})^2} = 3k \frac{q}{a^2}$.

Рассмотрим направления векторов. Вектор $\vec{E}_{3O}$ от отрицательного заряда $q_3$ направлен к вершине (вдоль высоты). Векторы $\vec{E}_{1O}$ и $\vec{E}_{2O}$ от положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ направлены от соответствующих вершин. В силу симметрии, горизонтальные проекции векторов $\vec{E}_{1O}$ и $\vec{E}_{2O}$ (относительно высоты) компенсируют друг друга, а вертикальные складываются и направлены также к вершине с зарядом $q_3$.

Таким образом, все три вектора (или их результирующие) сонаправлены вдоль высоты от основания к вершине. Результирующий вектор от зарядов $q_1$ и $q_2$ будет иметь модуль $E_{12O}$. Угол между векторами $\vec{E}_{1O}$ и $\vec{E}_{2O}$ составляет $60^\circ$. Их сумма по модулю равна $E_{12O} = 2 E_0 \cos(30^\circ) = E_0\sqrt{3}$. Но это неверно. Используем метод суперпозиции. Если бы все три заряда были положительными ($+q$), то в силу симметрии поле в центре было бы равно нулю: $\vec{E}_{1O}' + \vec{E}_{2O}' + \vec{E}_{3O}' = 0$. В нашей задаче $q_3 = -q$, поэтому поле $\vec{E}_{3O}$ от него противоположно по направлению полю $\vec{E}_{3O}'$ от заряда $+q$: $\vec{E}_{3O} = -\vec{E}_{3O}'$. Поля от $q_1$ и $q_2$ остаются прежними: $\vec{E}_{1O} = \vec{E}_{1O}'$, $\vec{E}_{2O} = \vec{E}_{2O}'$. Тогда искомое поле: $\vec{E} = \vec{E}_{1O}' + \vec{E}_{2O}' + \vec{E}_{3O} = (\vec{E}_{1O}' + \vec{E}_{2O}') - \vec{E}_{3O}'$. Из условия равенства нулю поля для трех положительных зарядов имеем $\vec{E}_{1O}' + \vec{E}_{2O}' = -\vec{E}_{3O}'$. Подставляем это в выражение для $\vec{E}$: $\vec{E} = (-\vec{E}_{3O}') - \vec{E}_{3O}' = -2\vec{E}_{3O}'$.

Вектор $\vec{E}_{3O}'$ направлен от вершины с зарядом $q_3$ к центру. Значит, вектор $\vec{E}$ направлен в противоположную сторону, т.е. от центра к вершине с зарядом $q_3$. Его модуль равен: $E = |-2\vec{E}_{3O}'| = 2 E_{3O}' = 2 E_0 = 2 \cdot \left(3k \frac{q}{a^2}\right) = 6k \frac{q}{a^2}$.

3. Найдем связь между $E$ и $E_1$.

У нас есть два выражения: $E_1 = \frac{4}{3} k \frac{q}{a^2}$ $E = 6 k \frac{q}{a^2}$

Из первого выразим $k \frac{q}{a^2} = \frac{3}{4}E_1$ и подставим во второе: $E = 6 \cdot \left(\frac{3}{4}E_1\right) = \frac{18}{4}E_1 = 4.5 E_1$.

Подставляем численное значение $E_1$: $E = 4.5 \cdot 1.0 \, \text{В/м} = 4.5 \, \text{В/м}$.

Ответ: $4.5 \, \text{В/м}$.