Номер 891, страница 164 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_1 = q_2 = 2$ мкКл
Координаты точки A: $(0; 0)$ м
Координаты точки B: $(2; 0)$ м
Координаты точки C: $(1; 1)$ м
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ (электрическая постоянная)

$q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

$E_x$

Решение:

Напряженность электростатического поля в точке C является векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции полей):

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Проекция результирующей напряженности на ось OX равна сумме проекций напряженностей от каждого заряда:

$E_x = E_{1x} + E_{2x}$

1. Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом $q_1$ в точке C.

Найдем расстояние $r_1$ от заряда $q_1$ (точка A) до точки C:

$r_1 = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ м.

Модуль напряженности поля $E_1$ равен:

$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} = k \frac{q_1}{(\sqrt{2})^2} = \frac{kq_1}{2}$

Проекция вектора $\vec{E}_1$ на ось OX равна $E_{1x} = E_1 \cos{\alpha}$, где $\alpha$ - угол между вектором $\vec{E}_1$ и положительным направлением оси OX. Косинус этого угла равен отношению проекции радиус-вектора $\vec{r_1}$ на ось OX к его модулю:

$\cos{\alpha} = \frac{x_C - x_A}{r_1} = \frac{1 - 0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Тогда проекция $E_{1x}$ равна:

$E_{1x} = E_1 \cdot \cos{\alpha} = \frac{kq_1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{kq_1}{2\sqrt{2}}$

2. Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом $q_2$ в точке C.

Найдем расстояние $r_2$ от заряда $q_2$ (точка B) до точки C:

$r_2 = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ м.

Модуль напряженности поля $E_2$ равен:

$E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} = k \frac{q_2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{kq_2}{2}$

Проекция вектора $\vec{E}_2$ на ось OX равна $E_{2x} = E_2 \cos{\beta}$, где $\beta$ - угол между вектором $\vec{E}_2$ и положительным направлением оси OX. Косинус этого угла равен:

$\cos{\beta} = \frac{x_C - x_B}{r_2} = \frac{1 - 2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Тогда проекция $E_{2x}$ равна:

$E_{2x} = E_2 \cdot \cos{\beta} = \frac{kq_2}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{kq_2}{2\sqrt{2}}$

3. Найдем суммарную проекцию на ось OX.

$E_x = E_{1x} + E_{2x} = \frac{kq_1}{2\sqrt{2}} - \frac{kq_2}{2\sqrt{2}}$

Так как по условию $q_1 = q_2$, то:

$E_x = \frac{kq_1}{2\sqrt{2}} - \frac{kq_1}{2\sqrt{2}} = 0$

Результат обусловлен симметрией задачи: заряды одинаковы и расположены симметрично относительно прямой $x = 1$, на которой лежит проекция точки C. Поэтому горизонтальные составляющие напряженностей полей от каждого заряда в точке C компенсируют друг друга.

Ответ: $E_x = 0$ В/м.