Номер 885, страница 163 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса грузика: $m$
Заряд грузика: $q$
Длина нити: $l$
Угол нити с вертикалью: $\alpha$
Неподвижный точечный заряд: $q$

Найти:

Период обращения $T$
Модуль силы упругости нити $F_{\text{упр}}$

Решение:

Грузик совершает равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости, являясь коническим маятником. На него действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{\text{упр}}$ и сила кулоновского взаимодействия $\vec{F}_e$ со вторым зарядом.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на грузик, равна произведению его массы на центростремительное ускорение $\vec{a}_c$:

$\vec{F}_{\text{упр}} + m\vec{g} + \vec{F}_e = m\vec{a}_c$

Запишем это уравнение в проекциях на вертикальную ось OY (направленную вверх) и горизонтальную ось OX (направленную к центру окружности). Радиус окружности $r = l \sin\alpha$, а модуль центростремительного ускорения $a_c = \omega^2 r = (\frac{2\pi}{T})^2 r = \frac{4\pi^2}{T^2} l \sin\alpha$. Сила Кулона $F_e = k \frac{q^2}{R^2}$, где $R$ — расстояние между зарядами, а $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона. Предполагаем, что заряды одноименные, т.е. сила Кулона является силой отталкивания.

Рассмотрим три случая расположения неподвижного заряда.

а) другой неподвижный точечный заряд $q$ находится в точке подвеса нити

В этом случае расстояние между зарядами равно длине нити $l$. Сила Кулона $F_e = k \frac{q^2}{l^2}$ направлена вдоль нити от точки подвеса.

Уравнения движения в проекциях на оси:
OY: $F_{\text{упр}} \cos\alpha - F_e \cos\alpha - mg = 0 \implies (F_{\text{упр}} - F_e) \cos\alpha = mg$
OX: $F_{\text{упр}} \sin\alpha - F_e \sin\alpha = m a_c \implies (F_{\text{упр}} - F_e) \sin\alpha = m \frac{4\pi^2}{T^2} l \sin\alpha$

Из уравнения для оси OY:

$F_{\text{упр}} - F_e = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Отсюда находим силу упругости:

$F_{\text{упр}} = \frac{mg}{\cos\alpha} + F_e = \frac{mg}{\cos\alpha} + k \frac{q^2}{l^2}$

Подставим выражение для $(F_{\text{упр}} - F_e)$ в уравнение для оси OX и сократим на $\sin\alpha$:

$\frac{mg}{\cos\alpha} = m \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Отсюда выражаем период $T$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 m l \cos\alpha}{mg} \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\alpha}{g}}$

Ответ: $F_{\text{упр}} = \frac{mg}{\cos\alpha} + k \frac{q^2}{l^2}$; $T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\alpha}{g}}$.

б) в центре окружности, описываемой грузиком

Расстояние между зарядами равно радиусу окружности $r = l \sin\alpha$. Сила Кулона $F_e = k \frac{q^2}{(l \sin\alpha)^2}$ направлена горизонтально от центра окружности.

Уравнения движения в проекциях на оси:
OY: $F_{\text{упр}} \cos\alpha - mg = 0$
OX: $F_{\text{упр}} \sin\alpha - F_e = m a_c = m \frac{4\pi^2}{T^2} l \sin\alpha$

Из уравнения для оси OY находим силу упругости:

$F_{\text{упр}} = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Подставим это выражение в уравнение для оси OX:

$\frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha - k \frac{q^2}{l^2 \sin^2\alpha} = m \frac{4\pi^2}{T^2} l \sin\alpha$

$mg \tan\alpha - k \frac{q^2}{l^2 \sin^2\alpha} = m \frac{4\pi^2}{T^2} l \sin\alpha$

Выразим отсюда $T^2$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 m l \sin\alpha}{mg \tan\alpha - k \frac{q^2}{l^2 \sin^2\alpha}}$

Отсюда период $T$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m l \sin\alpha}{mg \tan\alpha - k \frac{q^2}{l^2 \sin^2\alpha}}}$

Для существования такого движения необходимо, чтобы центростремительная сила была положительной, то есть $mg \tan\alpha > k \frac{q^2}{l^2 \sin^2\alpha}$.

Ответ: $F_{\text{упр}} = \frac{mg}{\cos\alpha}$; $T = 2\pi \sqrt{\frac{m l \sin\alpha}{mg \tan\alpha - k \frac{q^2}{l^2 \sin^2\alpha}}}$.

в) на оси конуса на расстоянии $l$ от грузика

Неподвижный заряд находится на оси вращения. Расстояние между зарядами по условию равно $l$. Из геометрии (равнобедренный треугольник, образованный нитью, осью и линией, соединяющей заряды) следует, что сила Кулона $F_e = k \frac{q^2}{l^2}$ направлена под углом $\alpha$ к вертикали вниз.

Уравнения движения в проекциях на оси:
OY: $F_{\text{упр}} \cos\alpha - F_e \cos\alpha - mg = 0 \implies (F_{\text{упр}} - F_e) \cos\alpha = mg$
OX: $F_{\text{упр}} \sin\alpha + F_e \sin\alpha = m a_c \implies (F_{\text{упр}} + F_e) \sin\alpha = m \frac{4\pi^2}{T^2} l \sin\alpha$

Из уравнения для оси OY находим силу упругости:

$F_{\text{упр}} = \frac{mg}{\cos\alpha} + F_e = \frac{mg}{\cos\alpha} + k \frac{q^2}{l^2}$

Из уравнения для оси OX, сокращая на $\sin\alpha$:

$F_{\text{упр}} + F_e = m \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Подставим в это уравнение найденное выражение для $F_{\text{упр}}$:

$\left(\frac{mg}{\cos\alpha} + k \frac{q^2}{l^2}\right) + k \frac{q^2}{l^2} = m \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

$\frac{mg}{\cos\alpha} + 2k \frac{q^2}{l^2} = m \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Выразим отсюда $T^2$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 m l}{\frac{mg}{\cos\alpha} + 2k \frac{q^2}{l^2}}$

Отсюда период $T$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m l}{\frac{mg}{\cos\alpha} + 2k \frac{q^2}{l^2}}}$

Ответ: $F_{\text{упр}} = \frac{mg}{\cos\alpha} + k \frac{q^2}{l^2}$; $T = 2\pi \sqrt{\frac{m l}{\frac{mg}{\cos\alpha} + 2k \frac{q^2}{l^2}}}$.